De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.

Transcripción

1 Área entre curvas El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo. Ejemplos 1. Calcular el área limitada por la curva y = x 2 5x + 6 y la recta y = 2x. En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración. De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.

2 2.Calcular el área limitada por la parábola y 2 = 4x y la recta y = x. De x = o a x = 4, la parábola queda por encima de la recta. 3.Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x 2 e y = x 2 + 4x. En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

3 Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración. 4. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x 2 2x, y = x 2 + 4x. Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

4 5.Hallar el área de de la región limitada por las funciones: y = sen x, y = cos x, x = 0. En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:

5 La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración. Ejercicios aplicaciones de la integral. Áreas 1. Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8. Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

6 2. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 x 2 y el eje OX. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 x 2 y el eje OX. En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración. Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0). Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0). Ecuación de la recta que pasa por AB: Ecuación de la recta que pasa por BC:

7 4. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y 2 = 4x e y = x 2. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y 2 = 4x e y = x 2.

8 5. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 x 2 ) y la recta y = 1. Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 x 2 ) y la recta y = 1.

9 7. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x y la recta que pasa por los puntos ( 1, 0) y (1, 4). Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x y la recta que pasa por los puntos ( 1, 0) y (1, 4).

10 8. Hallar el área limitada por la recta y = #$%&, el eje de abscisas y las ordenadas ' correspondientes a x = 0 y x = 4. Hallar el área limitada por la recta y = #$%&, el eje de abscisas y las ordenadas ' correspondientes a x = 0 y x = 4. 9) Calcular el área limitada por la curva y = 6x 2 3x 3 y el eje de abscisas. Calcular el área limitada por la curva y = 6x 2 3x 3 y el eje de abscisas.

11 10. Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados. Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2. El área es igual al área del rectángulo OABC menos el área bajo la curva y = ln x. El área de rectángulo es base por altura. El área bajo la curva y = ln x es:

12 11. Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x 2 + y 2 = 9. El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas. Hallamos los nuevos límites de integración.

13 12. Hallar el área de una elipse de semiejes a y b. Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas. Hallamos los nuevos límites de integración.

14 13. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = x 2 4x + 3 y el eje OX. 14. Hallar el área de la figura limitada por: y = x 2, y = x, x = 0, x = 2 Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.

15 De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola. De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola. 15. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x x 2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX. Puntos de intersección: Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0): Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):

16 LONGITUD DE ARCO La longitud del arco, de la curva f(x), comprendido entre las abscisas x = a y x = b viene dado por la integral definida: Ejemplo Hallar la longitud del arco de curva en el intervalo [0, 1].

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