1. Una variable aleatoria X sigue una distribución binomial con parámetros m = 3 y p =0.2.

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1 Ejercicios y Problemas. Capítulo III 1. Una variable aleatoria X sigue una distribución binomial con parámetros m = 3 y p =0.2. (a) Calcular P (X = 0), P (X = 1), P (X = 2), P (X = 3), utilizando la función de probabilidad. (b) Buscar los valores pedidos en (a) en la tabla que corresponde. 2. Si X es una variable aleatoria y X bin(7; 0, 1), calcular: a) P (X = 0) b) P (X = 1, 4) c) P (X 1) d) P (X > 5) e) P (X < 2) f) P (X 3) g) P (X 6) h) P (X = 8) h) P (X = 1) j) P (X 3, 2) 3. Si X es una variable aleatoria que sigue una distribución binomial con p = 2/3 y m = 5, calcular usando la tabla: a) P (X = 3) b) P (X 1, 4) c) P (X 3) d) P (X < 3) 4. Sabiendo que la variable aleatoria X sigue una distribución binomial con m = 8, hallar p si P (X = 2) = 0, Sea X una variable aleatoria binomial con p = 0, 4 y m = 4. Si P (X = a) = 0, Determinar el valor de a. 6. En una ciudad se sabe que el 30 % de los habitantes son fumadores. Se selecciona al azar un grupo de 8 personas. Calcular, indicando la variable aleatoria que se utiliza su distribución y sus parámetros, las siguientes probabilidades: (a) Probabilidad de que por lo menos 2 sean fumadores. 1 Prof. Magister Osmar Vera

2 (b) Probabilidad de que haya a lo sumo 3 fumadores. (c) Probabilidad de que exactamente 6 personas no fumen. (d) Probabilidad de que la primer persona fume y el resto no. (e) Probabilidad de que solo uno de los seleccionados fume. 7. Un agente de seguros vende pólizas a cinco hombres de buena salud, todos de la misma edad. De acuerdo con las tablas actuariales de la compañía se sabe que, la probabilidad de que un hombre de esa edad particular esté vivo al cabo de 30 años es 2/3. Hallar la probabilidad de que en 30 años estén vivos: a) Los cinco hombres b) Sólo dos de ellos. c) Por lo menos tres de ellos. d) A lo sumo uno de ellos. 8. El número de enfermos recuperados después de cierto tiempo de aplicado un tratamiento a 10 pacientes, es una variable aleatoria binomial con esperanza 7. Se aplica el tratamiento a 10 enfermos: (a) Calcular la probabilidad de que se recuperen por lo menos 6 pacientes. (b) De los 10 pacientes tratados, 3 iniciaron el tratamiento un día lunes, y el resto un jueves. Hallar la probabilidad de que se recuperen sólo los tres pacientes que iniciaron el tratamiento el lunes. (c) Hallar la varianza de la variable aleatoria. 9. En un servicio hospitalario se está estudiando la posibilidad de aplicar una nueva reacción a sus pacientes, y se desea calcular la probabilidad de que el resultado de aplicar la reacción a un paciente cualquiera sea positivo. Por experiencias en servicios similares de otros hospitales, se sabe que la probabilidad de que la reacción dé resultado positivo en todos los integrantes de un grupo de 5 pacientes es 0,0003. Calcular la probabilidad deseada. 10. Si X es una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson con λ = 1, 8. Determinar mediante el uso de tablas: 2 Prof. Magister Osmar Vera

3 a) P (X = 1) b) P (X 3) c) P (X > 2) d) P (5 X 7) e) P (3 < X 6) f) P (X 1) g) P (X = 0 ó X = 4) h) P (X 1) 11. Para una variable aleatoria X que sigue una distribución de Poisson, se sabe que P (X 3) = 0, Determinar P (X = 3). 12. El número de bacterias en un volumen de 6 cm 3 es una variable aleatoria X con distribución de Poisson. Sabiendo que P (X < 2) = 0, 2873: (a) Hallar el valor de λ usando la tabla de función de distribución de X. (b) Hallar el número medio de bacterias por unidad de volumen. 13. Una sustancia radioactiva emite partículas α. El número de partículas que llega a cierta región del espacio en un intervalo de 7,2 segundos es una variable aleatoria que obedece a la ley de Poisson con parámetro λ = 4. (a) Calcular la probabilidad de que en 7,2 segundos lleguen a lo sumo dos partículas. (b) Hallar la probabilidad de que en 9 segundos lleguen por lo menos cuatro partículas. (c) Calcular la longitud del intervalo de tiempo para que la probabilidad de que en ese intervalo lleguen a lo sumo seis partículas, sea En 1 dm 3 de aire se encuentra en promedio 3 moléculas de un gas raro. Se supone que el número de moléculas de ese gas que se encuentra en un volumen de aire es una variable aleatoria de Poisson. (a) Cuál es la probabilidad de no encontrar moléculas de ese gas en una muestra de 1 dm 3 de aire? 3 Prof. Magister Osmar Vera

4 (b) Si se toma una muestra de 1,5 dm 3 de aire, hallar la probabilidad de encontrar por lo menos dos moléculas de ese gas. (c) c) Suponiendo que la densidad se mantiene constante, Determinar el volumen que debe tener la muestra de aire para que la probabilidad de encontrar una molécula de ese gas en la muestra sea como mínimo 0,99. (d) d) Qué densidad de moléculas debería haber en el aire para que la probabilidad de no encontrar moléculas en 5 dm3 sea mayor que 0,6? 15. Supongamos que en cierta etapa del proceso de producción de una vacuna, ésta puede contener virus vivos. Se quiere realizar el control de seguridad de la vacuna para verificar que el proceso de producción funciona correctamente. (a) Se establece el siguiente método de control: de un matraz que contiene un gran volumen de la vacuna se toma una muestra de pequeño volumen v y, si la muestra no sostiene virus, se concluye que el contenido total del matraz tampoco tiene virus. Consideramos un matraz con una vacuna que contiene 5 virus vivos por cada 1000 cm 3 y tomemos del mismo una muestra de volumen v = 600 cm 3. Cuál es la probabilidad de llegar a la conclusión equivocada de que el matraz no contiene virus?. (b) ) Como el método expuesto en a) no resulta muy satisfactorio, se diseña otro método de control. A partir de tener la vacuna en tres matraces, se toma de cada uno de ellos una muestra del pequeño volumen v y, si las tres muestras no contienen virus se concluye que la vacuna tampoco tiene virus. Para la misma vacuna que contiene 5 virus vivos por cada 1000 cm 3, y para muestras de volumen v = 600cm 3, con este método, cuál es la probabilidad de llegar a la conclusión equivocada de que la vacuna no tiene virus? Comparar con (a). 4 Prof. Magister Osmar Vera

5 16. Si X es una variable aleatoria con distribución N(0; 1). Determinar: a) P (X 1,7) b) P ( 1,3 X < 0,5) c) P (0, 2 < X 1, 4 d) P (( 0, 38 < X 2, 94) e) P (X > 2, 03) f) P (X > 8) g) P (X < 2, 2) h) P ( X < 2, 73) i) P(X -1,34) j) P(X 7) k) El valor a para que P (X > a) = 0, Sea X una variable aleatoria con distribución N(2; 4). Hallar: a) P (X 1,36) b) P (X 1,34) c) P ( 1 < X4). 18. Para una variable aleatoria X distribuida normalmente con σ = 5, se sabe que P (X < 7) = 0, Determinar µ. 19. La altura de cierta especie vegetal sigue una distribución normal con µ = 30cm y σ = 4cm. Calcular la probabilidad de que al elegir al azar una planta de esa especie: a) Mida más de 35 cm. b) Mida a lo sumo 40 cm c) Mida entre 25 y 38 cm. d) Mida al menos 29 cm. 20. Se sabe que el peso de cierta especie animal es una variable aleatoria normal X cuya esperanza es 38 g. Hallar el valor de la varianza si P (X 39) = 0, La humedad relativa ambiente, a las 12 hs en los días del mes de junio de una ciudad, es una variable aleatoria distribuida normalmente con media 60 %. Sabiendo que, en es ciudad, la probabilidad de que en un día de junio a las 12 hs la humedad sea superior al 40 % es 0,9: (a) Hallar la desviación estándar de la variable. (b) Hallar la probabilidad de que en un día de junio a las 12 hs la humedad sea inferior a 50 %. (c) Hallar la probabilidad de que en un día de junio a las 12 hs la humedad oscile entre 20 % y 50 %. 5 Prof. Magister Osmar Vera

6 22. Los valores del colesterol total para cierta población están distribuidos en forma normal con media 200 mg/100ml. Se sabe que la probabilidad de que un individuo de esa población tenga valor de colesterol menor que 225 mg/100ml es 0,8944. Hallar la probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga valor de colesterol entre 190 y 215 mg/100ml. 23. Cierta variedad de semillas germina en el 50 % de los casos. Si se siembran 10 macetas con 4 semillas en cada una, cuál es la probabilidad de que haya 6 ó más macetas con exactamente 3 semillas germinadas? 24. El peso de los comprimidos producidos por un laboratorio es una variable aleatoria que se distribuye en forma normal con media 2,31 g y desvío estándar 0,4 g. Cuál es la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria de 10 comprimidos, todos tengan un peso comprendido entre 2,10 g y 2,52 g? 25. Al cargar una cámara con una suspensión de células, el número de ellas que se encuentra en un volumen de 0,1 mm 3 es una variable aleatoria de Poisson con parámetro 8. Cuál es la probabilidad de que, al cargar 5 cámaras con la misma suspensión de células, en una sola de ellas se encuentren exactamente 2 células en el mismo volumen de 0,1 mm 3? 26. La desigualdad de Chebychev, es válida para distribuciones continuas y discretas. Ella expresa que para cualquier número k que satisfaga k 1, P ( X µ kσ) 1/k 2. Obtenga esta probabilidad en el caso de la distribución Normal para k = 1, 2, 3 y compare con la cota superior. 27. Haga que X tenga una distribución binomial con parámetros n = 25 y p. Calcule cada una de las siguientes probabilidades utilizando la aproximación normal (con la corrección por continuidad) para los casos p = 0, 5; 0, 6; 0, 8 y compárelas con las probabilidades exactas calculadas por la tabla. a) P (15 X 20) b) P (X 15) c) P (20 X) 6 Prof. Magister Osmar Vera