EJERCICIOS PROBABILIDAD (1) 2. Sean A y S dos sucesos de un espacio muestral tales que P(A)=0 4; P(A S)=0 5 y P(S/A)= 0 5 Calcular P(S) y P(A/ S )

Transcripción

1 EJERCICIOS PROBABILIDAD (1) Sean A y B dos sucesos tales que P(A)=, P( B )= y P( A B )= Calcular a) P(B/A) b) P( A /B) 2. Sean A y S dos sucesos de un espacio muestral tales que P(A)=0 4; P(A S)=0 5 y P(S/A)= 0 5 Calcular P(S) y P(A/ S ) 3. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio, tales que la probabilidad de que no ocurra B es 0 6. Si el suceso B ocurre, entonces la probabilidad de que el suceso A ocurra es de 0 4 y si el suceso A ocurre, la probabilidad de que el suceso B ocurra es Calcúlense: a) P(B) b) P(A B) c) P(A) d) P(A B) 4. Sean A, B y C los sucesos de un espacio muestral tales que: P(A) = 0,09; P(B)= 0,07; P( AU B) 0, 97 Además los sucesos A y C son incompatibles. a) Estúdiese si los sucesos A y B son independientes. b) Calcúlese P( A B / C) 5. Una caja con una docena de huevos contiene dos de ellos rotos. Se extraen al azar sin reemplazamiento (sin devolverlas después y de manera consecutiva) cuatro huevos. Calcula: a) La probabilidad de extraer los cuatro huevos en buen estado b) La probabilidad de que entre los cuatro haya exactamente uno roto. 6. En una empresa de auditorías se ha contratado a tres personas para inspeccionar a las empresas bancarias realizando las correspondientes auditorias. La primera de ellas se encarga de efectuar el 30 %; la segunda, el 45%, y la tercera, el 25% restante. Se ha comprobado que de las inspecciones realizadas por la primera persona, el 1% son erróneas; la segunda comete errores en el 3% de los casos y la tercera en el 2% de los casos. b) Calcula la probabilidad de que, al elegir al azar una inspección, ésta sea errónea. c) Al elegir una inspección correcta, Cuál es la probabilidad de que la haya realizado la segunda persona? 7. La probabilidad de que un trabajador llegue puntual a su puesto de trabajo es 3/4. Entre los trabajadores que llegan tarde, la mitad va en transporte público. Calcúlese la probabilidad de que: a) Un trabajador elegido al azar llegue tarde al trabajo y vaya en transporte público.

2 b) Si se eligen tres trabajadores al azar, al menos uno de ellos llegue puntual. Supóngase que la puntualidad de cada uno de ellos es independiente de la del resto. 8. Una urna contiene 5 bolas blancas y 4 negras, y otra urna contiene 3 bolas blancas y dos negras. Se toma al azar una bola de la primera urna y, sin mirarla, se introduce en la segunda urna. A continuación extraemos consecutivamente, con reemplazamiento, dos bolas de la segunda urna. Hállese la probabilidad de que las dos últimas bolas extraídas sean: a) Del mismo color. b) De distinto color. Soluciones 1. 1/2; 7/ ; ; 0 16; 0 64; Son dependientes ; ; a) 0 125; b) a) 0 53; b) 047

3 EJERCICIOS PROBABILIDAD (2) 1. La altura de los árboles de una determinada comarca se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida y varianza 25 cm. Se toma una muestra aleatoria simple y, para un nivel de confianza del 95%, se construye un intervalo de confianza para la media poblacional cuya amplitud es de 2 45 cm. a) Determínese el tamaño de la muestra seleccionada. b) Determínese el límite superior y el límite inferior del intervalo de confianza si la altura media para la muestra seleccionada fue de 170 cm. 2. El consumo mensual de leche (en litros) de los alumnos de un determinado colegio se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media y desviación típica =3 litros. a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene el intervalo de confianza (16 33; 19 27) para estimar, con un nivel de confianza del 95%. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida. b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 64. Calcúlese el error máximo cometido en la estimación de mediante la media muestral con un nivel de confianza del 95%. 3. El número de kilómetros recorridos en un día determinado por un conductor de una empresa de transportes se puede aproximar por una variable aleatoria X con una distribución normal de media. a) Se obtuvo una muestra aleatoria simple, con los siguientes resultados: Determínese un intervalo de confianza al 95% para si la variable aleatoria X tiene una desviación típica igual a 30 km b) Cuál sería el error de estimación de usando un intervalo de confianza con un nivel del 90%, construido a partir de una muestra de tamaño 4, si la desviación típica de la variable aleatoria X fuera de 50 km? 4. La cantidad de fruta, medida en gramos, que contienen los botes de mermelada de una cooperativa se puede aproximar mediante una variable aleatoria con distribución normal de media y desviación típica de 10 g. a) Se seleccionó una muestra aleatoria simple de 100 botes de mermelada, y la cantidad total de fruta que contenían fue de gramos. Determínese un intervalo de confianza al 95 % para la media b) A partir de una muestra aleatoria simple de 64 botes de mermelada se ha obtenido un intervalo de confianza para la media con un error

4 de estimación de 2 35 gramos. Determínese el nivel de confianza utilizado para construir el intervalo. 5. En cierta región, el gasto familiar realizado en gas natural, medido en euros, durante un mes determinado se puede aproximar mediante una variable aleatoria con distribución normal de la media y desviación típica 75 euros. a) Determínese el mínimo tamaño muestral necesario para que al estimar la media del gasto familiar en gas natural,, mediante un intervalo de confianza al 95%, el error máximo cometido sea inferior a 15 euros. b) Si la media del gasto familiar en gas natural,, es de 250 euros y se toma una muestra aleatoria simple de 81 familias, cuál es la probabilidad de que la media muestral, X, sea superior a 230 euros? 6. El peso en gramos del contenido de las cajas de cereales de una cierta marca se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 5 gramos. Se toma una muestra de tamaño 144. a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y sea menor de 1 gramo. b) Si la media muestral obtenida es igual a gramos, determínese un intervalo de confianza con un nivel del 90 % para el peso medio de este tipo de cajas de cereales. Soluciones 1. a) 64; b) ( ; ) 2. a) 17,80; 16; b) a) ( ); b) a) (158 04;161 96); b) 93 98% 5. a) 97; b) 99 18% 6. a) ; b) ( ; )

5 EJERCICIOS PROBABILIDAD (3) 1. Se consideran los sucesos incompatibles A y B de un experimento aleatorio tales que P (A) = 0, 4, P (B) = 0, 3. Calcúlese: a) Calcular P(A B ) b) Calcular P(B A ) Nota: S denota al suceso complementario del suceso S. 2. El consumo familiar diario de electricidad (en kw) en cierta ciudad se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ y desviación típica 1,2 kw. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 50. Calcúlese: a) La probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 6 kw y 6,6 kw, si μ = 6,3kW. b) El nivel de confianza con el que se ha calculado el intervalo de confianza (6, 1; 6, 9) para la media del consumo familiar diario. 3. Se ha tomado una muestra aleatoria simple de diez pacientes y se ha anotado el número de días que han recibido tratamiento para los trastornos del sueño que sufren. Los resultados han sido: Se sabe que la duración, en días, del tratamiento se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ desconocida y desviación típica 34,5 días. a) Determínese un intervalo de confianza con un nivel del 95 % para μ. b) Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea menor de 10 días, con un nivel de confianza del 95 %? 4. En una bolsa hay cuatro bolas rojas y una verde. Se extraen de forma consecutiva y sin reemplazamiento dos bolas. Calcúlese la probabilidad de que: a) Las dos bolas sean del mismo color. b) La primera bola haya sido verde si la segunda bola extra ıda es roja. 5. El tiempo de reacción ante un obstáculo imprevisto de los conductores de automóviles de un país, en milisegundos (ms), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ desconocida y desviación típica = 250 ms.

6 a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene un intervalo de confianza (701; 799), expresado en ms, para μ con un nivel del 95 %. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida. b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 25. Calcúlese el error máximo cometido en la estimación de μ mediante la media muestral con un nivel de confianza del 80 %. 6.Sean A y B sucesos de un experimento aleatorio tales que P(A B)= 0,3; P(A B ) = 0, 2; P (B) = 0, 7. Calcúlense: a) P(A B) b) P(A B ). 7.La duración de cierto componente electrónico, en horas (h), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ desconocida y desviación típica igual a 1000 h. a) Se ha tomado una muestra aleatoria simple de esos componentes electrónicos de tamaño 81 y la media muestral de su duración ha sido x = 8000h. Calcúlese un intervalo de confianza al 99 % para μ. a) Cuál es la probabilidad de que la media muestral este comprendida entre 7904 y 8296 horas para una muestra aleatoria simple de tamaño 100 si sabemos que μ = 8100h? Soluciones 1. a) 0 3; b) a) 92 32%; b) 98% 3. a) (289 2;331 88) b) a) 3/5; b) ¼ 5. a) 100; b) a) 0 9; b) a) ( ; ); b) 95%