Resortes y fuerzas. Analiza la siguiente situación. Ley de Hooke. 2do Medio > Física Ley de Hooke. Qué aprenderé?

Transcripción

1 2do Medio > Física Ley de Hooke Resortes y fuerzas Analiza la siguiente situación Aníbal trabaja en una fábrica de entretenimientos electrónicos. Es el encargado de diseñar algunas de las máquinas que luego serán entregadas a sus clientes, según las características que ellos mismos solicitan. La máquina de pinball que él diseñó es particularmente exitosa en las ventas. Sin embargo, uno de sus clientes se quejó porque la máquina era demasiado grande, por lo que solicitó una más pequeña. Aníbal disminuyó el tamaño de la caja según lo solicitado por el cliente, y para no cambiar el diseño del juego mismo, disminuyó el tamaño del espacio disponible para el resorte que impulsa la bola. Esta vez el cliente quedó satisfecho con el tamaño, pero un par de días después regresó quejándose que el lanzador de la bola no tenía fuerza suficiente. Aníbal se vio en un gran problema, pues no entendía lo que había pasado. Puedes tú ayudar a Aníbal? Qué aprenderé? El objetivo de este módulo es que aprendas a resolver problemas relacionados con la ley de Hooke. 1

2 Como te habrás dado cuenta en la situación anterior, el problema con la máquina de pinball está en que, el resorte no puede aplicar fuerza suficiente a la bola. Aníbal no tendría este problema, si al momento de diseñar su máquina hubiese conocido la ley de Hooke. Habilidad Aplicar la ley de Hooke para describir las deformaciones momentáneas a las que son sometidos los cuerpos elásticos, como resortes. En el caso del pinball, Aníbal acortó el espacio disponible para que el resorte se estire, por lo que restringió la fuerza que éste era capaz de aplicar sobre la bola. Cómo puede hacer para no perder la capacidad de aplicar esta fuerza sin necesidad de aumentar el espacio disponible? En qué consiste la ley de Hooke? Cuando aplicamos una fuerza a un resorte, éste se estira o se comprime, según el sentido de la fuerza aplicada. A su vez, el resorte ejerce una fuerza restauradora en sentido opuesto a la dirección en que se comprime o se estira. Esta fuerza es proporcional al estiramiento del resorte: Esta relación entre la fuerza y el estiramiento o la compresión del resorte se conoce como la ley de Hooke. Matemáticamente se escribe: FR k X En esta relación, FR es la fuerza restauradora, medida en Newton; X es la distancia con que el resorte se estira o se comprime, medida en metros; y k es la constante elástica del resorte, y se mide en Newton/metro. El signo negativo de ecuación significa que la fuerza restauradora del resorte tiene sentido opuesto al desplazamiento producido en éste. Es decir, si el resorte es estirado, aparece una fuerza restauradora hacia al interior del resorte, en cambio si el resorte se comprime aparece una fuerza restauradora hacia fuera. En otras palabras, la fuerza restauradora hace que el resorte recupere su forma original. Si queremos relacionar la fuerza aplicada al resorte, el signo menos desaparece de la ecuación, pues en este caso la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido. O sea: FA k X Cómo se resuelve un problema utilizando la ley de Hooke? Paso 1: Leer el problema. No basta con sacar los datos del enunciado, es importante comprender la situación para poder entender cómo trabajar. Paso 2: Establecer la incógnita a resolver. Determinar cuál es la fórmula apropiada. Paso 3: Identificar las variables del problema. Verificar si se nos pide trabajar con la fuerza restauradora del resorte o con la fuerza aplicada a éste. Paso 4: Opcional. Establecer el sentido de la fuerza restauradora (o la aplicada) en función del estiramiento/compresión del resorte. Paso 5: Escribir la(s) relación(es) matemática(s). Paso 6: Despejar la variable y resolver la ecuación. Si es más de una proceder en orden, resolver las variables de a una. 2

3 Ejemplos Para recuperar la fuerza perdida, Aníbal no tendría más que cambiar su resorte por otro con una constante elástica mayor. Para satisfacer a su cliente, Aníbal recortó el espacio disponible de 10 cm a 6 cm. Y midió la constante elástica del resorte original, obteniendo un valor de k1=200 N/m. Cuál debe ser la constante elástica del nuevo resorte? Paso 1: La incógnita es la constante elástica. Para no confundirnos, digamos que k1 es la constante elástica del primer resorte y k2 la del segundo. En este caso usaremos la ecuación para F R. Paso 2: Entonces x1 y x2 serían los respectivos estiramientos. La fuerza será F, y en este caso es la misma en ambos casos. Paso 3: En este caso el sentido es opuesto al estiramiento del resorte, pero se nos pregunta por la constante elástica, de modo que no tiene importancia. Paso 4: Para el primer resorte, la relación es: F = -k1 x1 F = -200 N/m 0,1 m = -20 N Fíjate que el estiramiento lo hemos expresado en metros: 10 cm = 1 m. De esta relación obtenemos la fuerza. A continuación escribimos la expresión para el segundo resorte: F = -k2 x2 F = -k2 0,6 m Si reemplazamos F en la relación anterior: -20 N = -k2 0,6 m Paso 5: Ahora despejamos k2 para obtener: 20 N 33.3 N k 0.6m m Entonces, la constante elástica del nuevo resorte es 33,3 N/m. 2 3

4 Nuevas situaciones Un cierto resorte se estira en 3 cm cuando es sometido a una fuerza de 10 N. Qué fuerza es necesaria para que se estire en 5 cm? Analicemos paso a paso y lleguemos a la conclusión correcta Paso 1: La incógnita es la fuerza aplicada al resorte. O sea, usamos la ecuación sin el signo (-). Paso 2: Tenemos un estiramiento asociado a una fuerza. Y tenemos un segundo estiramiento. Se nos pregunta por la fuerza asociada a éste. Para poder obtener este dato, primero necesitamos la constante elástica del resorte. Paso 3: En este caso trabajaremos con la fuerza aplicada sobre el resorte. Esta fuerza produce un estiramiento en él, por tanto ese será el sentido de la fuerza: aquel en que el resorte se estira. Paso 4: En este caso hay dos relaciones matemáticas: Primero necesitamos obtener la constante elástica del resorte. Luego podemos calcular la fuerza que nos piden. Entonces: F1 = k x1 10 N = k 0,03 m Para el segundo estiramiento, se tiene: F2 = k x2 F2 = k 0,05 m Paso 5: Despejando la constante elástica del resorte: 10 N N k 0.03m m Reemplazamos en la ecuación para el segundo estiramiento: F2 = 333,3 N/m 0,05 m=16,665 N O sea, la fuerza necesaria es de (aproximadamente) 16,7 N. 4

5 Ejercicio 2 Un mecanismo opera mediante un resorte, el cual se comprime, se traba, y luego se libera para impulsar un autito de juguete. El resorte mide 5 cm de largo cuando ninguna fuerza actúa sobre él. Cuando está completamente comprimido, su longitud es de 4 cm. Si la constante elástica del resorte es de 500 N/m, Cuánto vale la fuerza máxima que éste es capaz de ejercer? Analicemos paso a paso y lleguemos a la conclusión correcta. Paso 1: La incógnita es la fuerza de restitución del resorte. Paso 2: Tenemos la constante elástica del resorte. Y de los otros datos podemos obtener la compresión. Fíjate que se pregunta por la fuerza máxima. Y ésta se da cuando la compresión es máxima (o cuando el estiramiento es máximo). En este caso, hay un mecanismo que necesita que el resorte se comprima. Por lo tanto, la fuerza máxima se obtiene con la compresión máxima del resorte. Paso 3: En este caso el sentido no es importante. Lo dejaremos así. Paso 4: Primero que nada obtengamos la compresión máxima del resorte. Si la longitud del resorte cuando no está siendo sometido a fuerzas de estiramiento o restitución es 5 cm, y cuando está comprimido al máximo es de 4 cm. La compresión máxima será la diferencia entre ambos: x = 5 cm 4 cm = 1 cm= 0,01 m Paso 5: Ahora podemos escribir la ecuación para la fuerza. Lo usual es expresar las compresiones mediante cantidades negativas y los estiramientos como positivas. Eso haremos para que la fuerza resultante no tenga un valor negativo. En este caso eso sólo significa que la fuerza y el desplazamiento del resorte tienen sentidos opuestos. Entonces: F = 500 N/m 0,01 m=5 N La fuerza que puede ejercer el resorte puede tener un valor máximo de 5 N. 5

6 Masa y peso. En cursos anteriores estudiaste la relación entre masa y peso. Recordarás que la masa es una característica de los objetos que nunca cambia, se mide en kilógramos y representa la cantidad de materia que tiene un cuerpo. El peso en cambio, es la fuerza con que la gravedad atrae a los objetos cerca de la superficie de la Tierra y se mide en Newton. Cerca de la superficie de la Tierra la relación entre peso y masa está determinada por la siguiente ecuación: P mg En donde P es el peso del objeto (en Newton), m es su masa (en kg) y g la aceleración de gravedad, que tiene un valor constante de 9,8 m/s 2 en la superficie de la Tierra. Ejercicio 3 Un dinamómetro es un instrumento que sirve para medir el peso de un objeto. Se necesita construir un dinamómetro que sea capaz de medir el peso de objetos de hasta 20 kg de masa. Pero la longitud del dinamómetro no puede exceder los 10 cm de longitud, sin contar con el espacio para el resorte sin estirar. Cuál debe ser la constante elástica del resorte a usar? Analicemos paso a paso y lleguemos a la conclusión correcta. Paso 1: Esta vez usaremos la fuerza aplicada al resorte. Paso 2: Tenemos el estiramiento del resorte. Queremos obtener la constante de elasticidad. Pero nos falta la fuerza. Sin embargo, tenemos la masa, por lo que podemos calcular la fuerza, que en este caso será el peso del objeto. Paso 3: Nuevamente el sentido no es importante. Paso 4: Primero calculemos el peso: Fpeso = m g = 20 kg 9,8 m/s2 = 196 N Ahora escribimos la ley de Hooke, para fuerza aplicada al resorte. F = k x 196 N = k 0,1 m Paso 5: Despejamos la constante de elasticidad para obtener: 196 N / 0,1 m = 1960 N/m = k O sea, la constante de elasticidad necesaria debe ser de 1960 N/m. 6

7 Situación Nº1 Llegó tu turno! Un resorte se comprime en 1 cm por cada 10 Newton de fuerza que se aplica a él. Si la compresión máxima que puede soportar el resorte es de 7 cm, Cuál es la fuerza máxima que se puede aplicar al resorte? Situación Nº2 Una banda elástica se comporta como un resorte, por lo que también se puede aplicar la ley de Hooke en este caso. Si la bandita se estira en 7 cm cuando se aplica una fuerza de 10 N Cuál será su constante de elasticidad? 7

8 Situación Nº3 Lucas requiere un resorte que sea capaz de soportar 50 kg de masa suspendidos de él. Encontró uno cuya constante elástica es de 1800 N/m, y cuya longitud sin estirar es de 10 cm. Se consiguió otro cuya constante elástica es de 2000 N/m, pero que mide 15 cm antes de estirarse. Cuál de los dos resortes tendrá una mayor longitud cuando se le aplica el peso correspondiente a los 50 kg de masa? Situación Nº4 La longitud de un resorte cuando se estira con una fuerza de 450 N es de 30 cm. Si se lo comprime con una fuerza de 150 N, su longitud es de 10 cm. Cuál será la longitud de este resorte cuando está sin deformarse? 8