UD 2: Dinámica. =40000 kg arrastra dos vagones de masas iguales m V

Transcripción

1 IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL BA1 Física y Química UD 2: Dinámica 1. Una máquina de tren de masa m M =40000 kg arrastra dos vagones de masas iguales m V =30000 kg cada uno. Si la aceleración del tren es de 0,5 m/s 2, calcula la fuerza que impulsa al tren y la fuerza que ejerce cada uno de los enganches (el de la locomotora con el primer vagón y el del primer vagón con el segundo). Para determinar la fuerza que impulsa al tren se aplica la segunda ley de Newton al sistema formado por la locomotora y los dos vagones. En la dirección del movimiento, la única fuerza que hay que considerar es la fuerza que impulsa al tren, F, de tal forma que: F =(m M +2 m V ) a=( ) 0,5=50000 N. La fuerza que ejerce el primer enganche, entre la locomotora y el primer vagón, se calcula aplicando la segunda ley de Newton al sistema formado por los dos vagones. En la dirección del movimiento actúa sobre él la fuerza T 1 que ejerce el enganche de la locomotora (la fuerza impulsora F está aplicada a la locomotora, que no forma parte del sistema que estamos ahora considerando), de tal forma que: T 1 =2 m V a= ,5=30000 N. La fuerza que ejerce el segundo enganche, entre ambos vagones, se calcula aplicando la segunda ley de Newton al último vagón. En la dirección del movimiento actúa sobre él la fuerza T 2 que ejerce el enganche entre los vagones, de tal forma que: T 2 =m V a= ,5=15000 N. 2. Dos cuerpos de masas m 1 =10 kg y m 2 =6 kg penden de los extremos de un hilo que pasa por una pequeña polea (tanto el hilo como la polea se suponen ideales). Calcula la aceleración del movimiento y la tensión de las ramas del hilo. Sobre el primer cuerpo actúan dos fuerzas: El peso, m 1 g, en la dirección vertical hacia abajo. La tensión del hilo, T, en la dirección vertical hacia arriba. Si consideramos que el movimiento de este cuerpo es hacia abajo (lo cual es razonable, pues es el que tiene mayor masa), y asignamos como sentido positivo el del movimiento (hacia abajo), la segunda ley de Newton aplicada a este cuerpo resulta: m 1 g T =m 1 a. Sobre el segundo cuerpo actúan dos fuerzas: El peso, m 2 g, en la dirección vertical hacia abajo. La tensión del hilo, T, en la dirección vertical hacia arriba Si consideramos que el movimiento de este cuerpo es hacia arriba (consecuencia de que el otro cuerpo se mueva hacia abajo), y asignamos como sentido positivo el del movimiento (hacia arriba), la segunda ley de Newton aplicada a este cuerpo resulta: T m 2 g=m 2 a. Del sistema formado por ambas ecuaciones se puede calcular tanto la aceleración del sistema como la tensión del hilo. Sumando ambas ecuaciones miembro a miembro se elimina la tensión del hilo y se obtiene la ecuación para la aceleración: m 1 g m 2 g=m 1 a+m 2 a a= (m 1 m 2 ) g = (10 6) 9,8 =2,45 m/s 2. m 1 +m Despejando la tensión de la ecuación del segundo cuerpo, sustituyendo los valores adecuados y operando se obtiene la tensión del hilo: T =m 2 g+m 2 a=6 9,8+6 2,45=73,5 N. Raúl Corraliza 1

2 3. Una persona de 73 kg de masa se halla sobre una báscula dentro de un ascensor. Calcula qué marcará la báscula en las siguientes condiciones: a) El ascensor sube acelerando con una aceleración de 1 m/s 2. En todos los casos, sobre la persona actúan dos fuerzas: El peso, m g, en la dirección vertical hacia abajo. La reacción al peso de la báscula (la fuerza normal N que marca su display), en la dirección vertical hacia arriba. Considerando positivo el sentido hacia arriba, la segunda ley de Newton resulta: N m g=m a, de donde la lectura de la báscula será N =m g +m a=m( g +a), equivalente a una masa aparente m '= N g = m(g+a) =m g ( 1+ a g ). En este primer apartado, la aceleración del sistema es a=1 m/ s 2 (positiva, pues al tratarse de un movimiento de aceleración tendrá el sentido del movimiento, hacia arriba). La lectura de la báscula será N =m(g +a)=73(9,8+1)=788,4 N, equivalente a una masa aparente m '= N g =788,9 =80,45 kg (mayor que la real de la persona). 9,8 b) El ascensor sube con movimiento uniforme. En este caso la aceleración del sistema es nula, por tratarse de un movimiento uniforme. La lectura de la báscula será N =m(g +a)=73(9,8+0)=715,4 N, y la masa equivalente coincide con la masa real de la persona. c) El ascensor sube frenando con una aceleración de 2 m/s 2. En este caso la aceleración del sistema es a= 1 m/s 2 (negativa, pues al tratarse de un movimiento de frenado tendrá sentido contrario al del movimiento, hacia abajo). La lectura de la báscula será N =m(g +a)=73(9,8 2)=569,4 N, equivalente a una masa aparente m '= N g =569,4 =58,10 kg (menor que la real de la persona). 9,8 d) El ascensor cae porque se ha roto el cable que lo sostenía. En este caso a aceleración del sistema es la de la gravedad terrestre, a= g por tratarse de un movimiento de caída libre (negativa, por estar dirigida hacia abajo). La lectura de la báscula será: N =m(g+a)=m(g g)=0, equivalente a una masa aparente nula (la persona se encuentra en situación de ingravidez). 4. Una caja de masa m se encuentra en reposo sobre el suelo horizontal de un camión. El coeficiente de rozamiento estático entre la caja y el suelo del vehículo es μ e =0,35. Cuál es la máxima aceleración con la que puede frenar el camión sin que la caja se deslice sobre él? Sobre la caja actúan, en la dirección vertical, dos fuerzas: El peso, m g, dirigido hacia abajo. La reacción normal del suelo del camión, N, dirigido hacia arriba. Puesto que no hay movimiento en esta dirección, de la aplicación de la segunda ley de Newton en este eje se deduce que ambas fuerzas se contrarrestran: N =m g. Raúl Corraliza 2

3 En la dirección horizontal actúa una única fuerza: el rozamiento estático, F R, que se opone al deslizamiento. Si el camión se está desplazando hacia delante, esta fuerza estará dirigida hacia atrás. Si se representa a a la la aceleración de frenado del camión, de la aplicación de la segunda ley de Newton en este eje se deduce: F R =m a. Dado que F R μ e N, de las ecuaciones anteriores se deduce: m a μ e m g, de donde es posible despejar la aceleración de frenado del camión, sustituyendo los valores apropiados: a μ e g=0,35 9,8=3,43 m/ s 2. Así pues, la máxima aceleración con la que puede frenar el camión sin que la caja se deslice sobre él es a max =3,43 m/ s Un trineo de 70 kg de masa se desliza por una pendiente de 30º de inclinación con una velocidad v 0 =2 m/ s. El coeficiente de rozamiento cinético por el desplazamiento entre el trineo y la nieve es μ c =0,2. Calcula la velocidad que alcanzará el trineo cuando haya recorrido 20 m. Sobre el trineo actúan tres fuerzas: El peso, m g, en la dirección vertical hacia abajo. La reacción al peso de la superficie sobre la que se apoya, N, en la dirección perpendicular a dicha superficie hacia fuera. La fuerza de rozamiento, F R, en la dirección tangente a dicha superficie con sentido opuesto al movimiento. Sea el sistema de ejes coordenados OX, en la dirección tangente a la superficie sobre la que se apoya el trineo, con sentido positivo igual al del movimiento; y OY, en la dirección normal a dicha superficie, con sentido positivo hacia fuera. La única fuerza que no está contenida en uno de estos ejes es el peso. Sus componentes en estos ejes se determinan mediante proyección, siendo su componente en el eje OX igual a m g sen 30º y su componente en el eje OY igual a m g cos30º. De la aplicación de la segunda ley de Newton en el eje OY (donde la aceleración es nula), se deduce: N =m g cos30º. De la aplicación de la segunda ley de Newton en el eje OY (donde la aceleración es positiva), se deduce: m g sen 30º F R =m a. Raúl Corraliza 3

4 Puesto que F R =μ c N, de las ecuaciones anteriores es posible determinar la aceleración del trineo: m a=m g sen 30º μ c m g cos 30º a=g(sen 30º μ c cos 30º)=9,8(0,5 0,2 0,8660)=3,2 m/s 2. El deslizamiento del trineo sobre la pendiente es un movimiento rectilíneo y uniforme, con velocidad inicial v 0 =2 m/ s y aceleración constante a 0 =3,2 m/ s 2. En este movimiento, las velocidades y posiciones en dos instantes de tiempo se relacionan a través de la aceleración mediante la expresión: v 2 v 2 0 =2 a 0 Δ x. Despejando, sustituyendo los valores anteriores y operando, es posible determinar la velocidad pedida: v= v a 0 Δ x= ,2 20= 132=11,5 m/s. 6. Un automóvil circula por una curva de 40 m de radio peraltada, de forma que el suelo de la carretera está inclinado un ángulo de 26º. Se comprueba que la máxima velocidad a la que el coche puede tomar la curva sin patinar lateral mente es de 94 km/h. Calcula el coeficiente de rozamiento estático por deslizamiento lateral entre las ruedas y el suelo de la carretera. Sobre el automóvil actúan tres fuerzas: El peso, m g, en la dirección vertical hacia abajo. La reacción al peso de la superficie sobre la que se apoya, N, en la dirección perpendicular a dicha superficie hacia fuera. La fuerza de rozamiento, F R, en la dirección tangente a dicha superficie con sentido hacia el interior de la curva (hacia la parte baja del peralte, si este está correctamente construido), pues el automóvil tiende a patinar hacia el exterior de la curva. Puesto que el coche va a la mayor velocidad posible sin deslizarse lateralmente, la fuerza de rozamiento será la máxima, F R =μ e N. Sea el sistema de ejes coordenados OX, en la dirección horizontal con sentido positivo hacia el interior de la curva; y OY, en la dirección vertical con sentido positivo hacia arriba. Se descomponen tanto la normal como la fuerza de rozamiento en las componentes contenidas en estos ejes mediante proyección: En el caso de la normal, la componente en el eje OX es N x =N sen 26º y su componente en el eje OY es N y = N cos 26º. En el caso de la fuerza de rozamiento, la componente en el eje OX es F Rx =F R cos 26º= =μ e N cos26º y su componente en el eje OY es F Ry =F R sen 26º=μ e N sen 26º. Raúl Corraliza 4

5 De la aplicación de la segunda ley de Newton en el eje OY (donde la aceleración es nula), se deduce: m g+ F Ry =N y. De la aplicación de la segunda ley de Newton en el eje OY (donde la aceleración es igual a la centrípeta, a= v2 ρ F Rx + N x =m v2 ρ., donde ρ representa el radio de curvatura de la curva), se deduce: Despejando la masa del automóvil en ambas ecuaciones e igualando, se llega a la ecuación: N y F Ry = ρ (F Rx+ N x ) g v 2 Sustituyendo las componentes de la normal y la fuerza de rozamiento expuestas anteriormente: N cos 26º μ e N sen 26º = ρ (μ e N cos26º+n sen 26º) g v 2 Eliminando el factor N que aparece en todos los términos y despejando, se obtiene: cos26º μ e sen 26º = ρ (μ e cos 26º +sen 26º) g v 2 ; v 2 (cos 26º μ e sen 26º)=g ρ (μ e cos 26º+sen 26º ) ; v 2 cos26º μ e v 2 sen 26º=μ e g ρ cos 26º+g ρ sen 26º ; μ e g ρ cos 26º+μ e v 2 sen 26º=v 2 cos 26º g ρ sen 26º ; μ e ( g ρ cos 26º+v 2 sen 26º)=v 2 cos 26º g ρ sen 26º μ c = v2 cos26º g ρ sen 26º g ρ cos 26º+v 2 sen 26º Sustituyendo los valores correspondientes se obtiene el valor: μ e = 26,112 0,899 9,8 40 0,438 =0,68 9,8 40 0,899+26,11 2 0, Un astronauta, junto con su equipo completo, tiene una masa de 150 kg. Calcula su peso en la superficie de Marte y la aceleración de la gravedad en Marte, sabiendo que la masa y el radio de Marte son 6, kg y 3, m, y que G=6, N m 2 kg 2. Si se representa M M y R M la masa y el radio de Marte, y m la masa del astronauta y su equipo, la ley de gravitación universal establece que F =G M m M =m g 2 M R M, donde g M = G M M 2 R M es la aceleración de la gravedad en Marte. Sustituyendo los valores apropiados y operando se obtienen los valores: g M = 6, , =3,69 m/s 2 (3, ) 2 y F =150 3,69=553,5 N. 8. Un tenista golpea con su raqueta una pelota de tenis que se movía a 90 km/h. Después del golpe, la pelota se mueve en la misma dirección, pero en sentido contrario al inicial, a una velocidad de 144 km/h. La masa de la pelota es 80 g, y el tiempo de contacto entre la raqueta y la pelota ha sido de 0,02 s. Calcula la fuerza media que ha actuado sobre la pelota y la variación de la cantidad de movimiento de la raqueta como consecuencia del choque. Se considera un sistema de referencia unidimensional con dirección y sentido positivo la del movimiento inicial de la pelota de tenis. La variación en la cantidad de movimiento de la pelota es la diferencia entre la cantidad de movimiento inicial, p i =0,080 kg 25 m/ s=2 kg m/s, y la cantidad de movimiento final p f =0,080 kg ( 40 m/s)= 3,2 kg m/ s : Δ p= p f p i = 3,2 2= 5,2 kg m/s. Raúl Corraliza 5

6 En el sistema formado por la raqueta y la pelota de tenis, excluyendo la acción de fuerzas externas, se conserva la cantidad de movimiento total. Así pues, la variación en la cantidad de movimiento de la raqueta será igual a la de la pelota, pero con sentido contrario: Δ p=5,2 kg m/s. Puesto que el impulso mecánico sobre la pelota es igual a la variación de su cantidad de movimiento: I =F m Δ t=δ p, donde F m representa la fuerza media que actúa sobre la pelota durante el intervalo de tiempo Δ t. De esta expresión es posible despejar y calcular la fuerza media: F m = Δ p Δ t = 5,2 = 260 N (el signo negativo indica el sentido de la fuerza, contrario al del 0,02 movimiento inicial de la pelota). 9. Dos botes A y B, de masas m A =300 kg y m B =225 kg, flotan sobre la superficie en reposo de un lago, alineados y con sus proas orientadas en sentidos opuestos. Una persona salta del bote A al B, con lo que ambas embarcaciones comienzan a moverse a 1 m/s en sentidos contrarios. Calcula la masa de la persona y la componente horizontal de su velocidad en el salto. Se considera un sistema de referencia unidimensional con dirección horizontal y sentido positivo el del movimiento final de la persona. La cantidad de movimiento inicial de los botes y la persona es nula, pues todos ellos se encuentran en reposo. Tras el salto de la persona, en un instante en que esta está en vuelo, la cantidad de movimiento del bote A es p A =m A ( 1)=300 ( 1)= 300 kg m/ s (la velocidad es negativa por tener un movimiento de retroceso), mientras que la cantidad de movimiento de la persona es p 1 =m v, donde m y v representan la masa y la componente horizontal de la velocidad horizontal de la persona. Excluyendo la acción de fuerzas externas, la conservación de la cantidad de movimiento implica que p A + p 1 =0, de donde m v=300 kg m/s. Una vez que la persona aterriza en el bote B, la cantidad de movimiento de este bote es p B =m B 1=225 1=225 kg m/ s y la de la persona es p 2 =m 1 (en ambos casos la velocidad es positiva por tener movimiento de avance). Excluyendo la acción de fuerzas externas, la conservación de la cantidad de movimiento implica que p A + p B + p 2 =0, de donde m 1=0 m= =75 kg. 1 Sustituyendo este valor en la ecuación anterior, despejando, se obtiene la componente horizontal de la velocidad de la persona en el salto: 75v=300 v= 300 =4 m/ s. 75 Raúl Corraliza 6