Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática ( )

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Manuel Torres Álvarez
hace 7 años
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1 Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática ( ) UNIDAD N 4 (APLICACIONES DE LA DERIVADA) Profesora: Yulimar Matute Febrero 2012

2 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL Definición: Sea f una función diferenciable en el punto a. 1. La recta tangente al gráfico de la función f en el punto A = (a, f(a)) es la recta que pasa por A y tiene por pendiente m t = f (a). O sea, es la recta: y f(a) = f (a)(x a) 2. La recta normal al gráfico de la función f en el punto A = (a, f(a)) es la recta que pasa por A y es perpendicular a la recta tangente en A. O sea, es la recta: y f(a) = 1 (x a), donde f (a) 0 f (a) La pendiente de la recta normal a una curva en un punto A = (a, f(a)) es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente en ese punto, por ser rectas perpendiculares entre sí. m n = 1 f (a) Gráficamente: Recta Normal Recta Tangente A = (a, f(a)) Nota: Si dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales Si dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es igual a 1 1

3 Ejercicios: 1. Encontrar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola f(x) = x 2 en el punto (3,9). 2. Encontrar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola x 2 = 4y en el punto (2,1). 3. Encontrar la ecuación de la recta tangente y normal a y = x en el punto donde x = 4 4. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = x 2 + 2x 1 y que es paralela a la recta 5x + y + 2 = 0 Ejercicios propuestos: En los ejercicios 1-10, encontrar la ecuación de la recta tangente y normal de las siguientes funciones en donde se indica. 1. y = 3x 2 x + 1 en x = 2 2. y = 2x 2 5x + 1 en el punto (1, 2) 3. y = x 3 2x en x = 2 4. y = 4x en x = 4 5. f(x) = x x en x = 1 6. f(x) = 2 en x = 2 x x 2 3xy 4 = 0 en el punto (4,1) 8. 4x 2 + 5xy = 14 en el punto (1,2) 9. g(x) = x2 +2 en x = 2 x f(x) = 2x x en x = Dada la ecuación 9x 2 + y 2 = 18, hallar la ecuación de la recta tangente que sea paralela a la recta de ecuación 3x y + 7 = Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x 2 5x + 6 paralela a la recta 3x + y 2 = 0 2

ANÁLISIS DE CURVA Extremos Absolutos y Relativos Definición de extremos absolutos: Sea f una función definida en el conjunto S de los números reales, y c un número en S. 1.

4 ANÁLISIS DE CURVA Extremos Absolutos y Relativos Definición de extremos absolutos: Sea f una función definida en el conjunto S de los números reales, y c un número en S. 1. f(c) es el mínimo absoluto de f si f(c) f(x) para toda x en S. Se dice entonces que f toma su valor mínimo en c y (c, f(c)) es el punto más bajo de la gráfica. 2. f(c) es el máximo absoluto de f si f(c) f(x) para toda x en S. Se dice entonces que f toma su valor máximo en c y (c, f(c)) es el punto más alto de la gráfica. A los mínimos absolutos o máximos absolutos se les llama extremos absolutos (o globales). f(a)es el valor mínimo f(b)es el valor máximo Definición de extremos relativos: 1. f(c) es un mínimo relativo de f si f(c) f(x) para toda x en un intervalo abierto que contiene a c. 2. f(c) es un máximo relativo de f si f(c) f(x) para toda x en un intervalo abierto que contiene a c. A los mínimos o máximos relativos se les llama extremos relativos (o locales) de f. 3

5 Definición de Número o Punto Crítico: Sea f una función definida en c (por lo tanto c es parte del dominio). Si f (c) = 0 o f (c) no está definida, entonces c es un número crítico de f. f (c) = 0 f (c) no está definida Los extremos relativos se encuentran ubicados sólo en números o puntos críticos. Si f tiene un mínimo relativo o un máximo relativo en x = c, entonces c es un número crítico de f. Nota: una función puede tener uno, varios o ningún máximo relativo. Lo mismo ocurre con los mínimos relativos. Ejemplo: Encontrar los números críticos de 1. f(x) = x 3 6x 2 + 9x f(x) = (x 1) 2 3 4

6 Definición de función creciente Una función f es creciente en un intervalo si para dos números x 1 y x 2 contenidos en ese intervalo, siempre que x 1 < x 2, entonces f(x 1 ) < f(x 2 ). Ejemplos de funciones crecientes: Definición de función decreciente Una función f es decreciente en un intervalo si para dos números x 1 y x 2 contenidos en ese intervalo, siempre que x 1 < x 2, entonces f(x 1 ) > f(x 2 ). Ejemplos de funciones decrecientes: Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a, b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo [a, b]. 5

7 Observando la gráfica, determinar en qué intervalos crece y/o decrece la función. Criterio de la primera derivada para: Crecimiento y Decrecimiento Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b], y derivable en el intervalo abierto (a, b). 1. Si f (x) > 0 x (a, b), f es creciente en [a, b]. 2. Si f (x) < 0 x (a, b), f es decreciente en [a, b]. Criterio de la primera derivada para: Extremos Relativos Sea c un número crítico de una función f continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es diferenciable en ese intervalo, excepto posiblemente en c, se tiene que: 1. Si f (x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f(c) es un máximo relativo de f. Esto es, si la función cambia de creciente a decreciente en c, f(c) es un máximo relativo de f. 2. Si f (x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f(c) es un mínimo relativo de f. Esto es, si la función cambia de decreciente a creciente en c, f(c) es un mínimo relativo de f. 3. Si f (x) no cambia de signo en c, entonces f(c) no es ni máximo ni mínimo relativo. Ejercicio: Dada la función f(x) = 1 3 x x2 6x encontrar los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento. 6

8 Concavidad Definición de concavidad: Si f(x) es una función diferenciable en un intervalo abierto I, la gráfica de f(x) es: Cóncava hacia arriba en I, si f (x) es creciente en el intervalo, y Cóncava hacia abajo en I, si f (x) es decreciente en el intervalo. Concavidad hacia arriba Concavidad hacia abajo Teorema: criterio para la concavidad Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I: Si f (x) > 0 para toda x en I ( x I), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba. Si f (x) < 0 para toda x en I ( x I), entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo. Pasos para analizar la concavidad de una función: 1. Se encuentran los valores de x en los cuales f (x) = 0 o donde f (x) no está definida. 2. Con los valores de x obtenidos en el paso anterior, se determinan los intervalos de prueba para el criterio de concavidad. 3. Se prueba el signo de f (x) en cada uno de los intervalos del paso 2. Definición de punto de inflexión Es el punto donde cambia la concavidad ( de arriba hacia abajo o de abajo hacia arriba) y la línea tangente a la gráfica existe en c. 7

9 Si (c, f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces f (x) = 0 o f (x) no existe en x = c. Ejercicio: Dada la función f(x) = 1 3 x x2 6x encontrar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. Ejercicios propuestos: Analizar y trazar la gráfica de las siguientes funciones 1. f(x) = x 3 3x f(x) = x 4 4x 3 3. f(x) = x 4 3x f(x) = (x 2 1) 2 5. f(x) = 1 4 x4 2 3 x x f(x) = x x f(x) = x(x 2) 3 8. f(x) = 2x 2 x 4 8

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