UNIDAD Nº4. Ejemplo.- Dados los Gastos de publicidad en los meses enero a julio, los cuales generan los sgts. Ingresos:

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1 UNIDAD Nº4 TEORÍA DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN 1.- Teoría de Regresión.- En términos de estadística los conceptos de regresión y ajuste con líneas paralelas son sinónimos lo cual resulta estimar los valores de la variable dependiente (Y) correspondiente a los valores dados de la variable independiente (X), por lo que si se estima el valor de "Y" a partir de "X" decimos que se trata de una curva de regresión de "Y" sobre "X". Ejemplo.- El peso depende de la estatura, el consumo del ingreso etc. 1.2 Diagrama de Dispersión.- Es una gráfica en el eje cartesiano en la que cada punto trazado representa los valores de las variables (X,Y) y el cual nos permite encontrar la curva de mejor ajuste por los distintos métodos de aproximación como ser: Método de mano alzada, método libre, método semipromedio y el método de los mínimos cuadrados. Ejemplo.- Dados los Gastos de publicidad en los meses enero a julio, los cuales generan los sgts. Ingresos: PUB. VTAS ,4 15 2,1 20 2,2 21 2,8 30 4,5 50 5,5 60 "X" "Y" a) Método de Mano alzada (Método Gráfico).- Consiste en utilizar como referencia el diagrama de dispersión e identificar la función de acuerdo a la tendencia de los puntos de la grafica. Observación.- En la gráfica podemos identificar las desviaciones de los puntos con respecto a la recta. La desventaja de este método consiste en la dependencia existente entre ambas variables ya que si aumentan los valores de X, también lo harán los valores de Y.

2 b) Método Libre.- Consiste en ajustar una recta a una curva de tendencia mediante la observación del gráfico. Los puntos que servirán de base para establecer la función deseada serán escogidos por el observador. Mediante el diagrama de dispersión observamos que se trata de una función lineal (Por la forma de los puntos de "X,Y"). X1= 1 Y1= 10 X2= 5.5 Y2= 60 Y = ax+b (1)Y 1 = ax1+b Reemplaz. en ec.(1) (2)Y 2 = ax2+b 10= a+b(-1) 10= 11,11 + b 60=5,5a+b b= 10-11,11 50=4,5a b= -1,11 a= 50 4,5 a= 11,11 C)Método Semipromedio.- Consiste en agrupar los datos en dos estratos preferiblemente iguales y lograr dos puntos en el gráfico par trazar una recta de tendencia. Este método nos permite trazar funciones lineales para cada semipromedio y luego resolver mediante el sistema lineal deseado. 1 2 PUB. VTAS ,4 15 2,1 20 2,2 21 2,8 30 4,5 50 5,5 60 "X" "Y" Y = ax+b (1)Y 1 = ax1+b Reemplaz. en ec.(1) (2)Y 2 = ax2+b 16,5 =1,67a+b(-1) 16,5=1,67a + b 46,67=4,27a+b 16,5= 1,67(11,60)+b 30,17=2,6 a a= 30,17 b= 16,5-19,37 2,6 b= -2,87 a= 11,60 d) Método de los Mínimos Cuadrados.- Al realizar un análisis lógico entre las variables es necesario determinar el tipo de función matemática que representa la relación entre ellas, para lo cual se debe ajustar la recta o curva de regresión en base a la forma que representa la gráfica. La curva de mejor ajuste se la puede realizar por el método de los mínimos cuadrados aplicando a diferentes tipos de funciones tal como ser: Función Lineal, Parabólica, Potencial, Exponencial, etc.

3 d.1)función Lineal o Recta de Regresión de los Mínimos Cuadrados.- Si al observar el diagrama de dispersión notamos un comportamiento rectilíneo, el ajuste de la recta de regresión de los mínimos cuadrados se lo realiza de la forma siguiente: "X" "Y" y*x x ,0 1,00 1, ,0 1,96 2, ,0 4,41 2, ,2 4,84 2, ,0 7,84 4, ,0 20,25 5, ,0 30,25 758,2 70,55 Y = ax + b (1) y=a x+b(n) Reemplaz. en ec.(1) (2) yx=a x 2 +b x 206=19,5(11,36)+7b 206=19,5a+7b 206=221,52+7b 758,2=70,55a+19,5b -29,43= -2,79a-b b= ,52 38,88= 3,62a+b b= -2,22 a= 9,45/0,83 = d.2) Función Parabólica de Regresión de los Mínimos Cuadrados Las relaciones lineales se la pueden adaptar a diferentes tipos de curva. El ajuste correspondiente se lo realiza de la siguiente forma: x 3 y*x 2 x 4 1,00 10,00 1,00 2,74 29,40 3,84 9,26 88,20 19,45 10,65 101,64 23,43 21,95 235,20 61,47 91, ,50 410,06 166, ,00 915,06 303, , ,28 Y = ax 2 + bx + c (1) y =a x 2 +b x+c(n) (2) yx=a x 3 +b x 2 +c x (3) yx 2 =a x 4 +b x 3 +c x 2 (1) 206=70,55a+19,5b+7c (4) (2) 758,2=303,08a+70,55b+19,5c (5) (3)3291,94=1434,28a+303,08b+70,55c (4) 9,4534=5,464a+0,8322b (5) 7,789 =4,7874a+0,678b 0,1138=0,4954a a=0,1138/0,4954 = 0,23 Reemplaz. en ec.(4) 9,4534=5,464(0,23)+0,8322b b=9,4534-1,2567 = 9,85 0,8322 Reemplaz. en ec.(1) 206=70,55(0,23)+19,5(9,85)+7c C=206-16, ,075= -0,33 7

4 b) Función Potencial.- Es muy utilizada en proyecciones, por su flexibilidad se la conoce como función de elasticidad por lo que es muy sensible al comportamiento en el diagrama de dispersión. Su expresión matemática es la siguiente: log y log x logy*logx log x 2 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,1761 0,1461 0,1719 0,0214 1,3010 0,3222 0,4192 0,1038 1,3222 0,3424 0,4528 0,1173 1,4771 0,4472 0,6605 0,2000 1,6990 0,6532 1,1098 0,4267 1,7782 0,7404 1,3165 0,5481 9,7534 2,6513 4,1301 1,4169 Y = ax b (1)Σlogy=nloga+bΣlogx (2)Σlogylogx=loga Σlogx+bΣlogx 2 (1) 9,7534 =7loga+2,6513logb (2) 4,1301 =2,6513a+1,4169b 0,7638 =0,769loga Loga=0,7639 =0,9932antilog = 9,84 0,769 Reemplaz. En ec. (1) 9,7534=7(0,9932)+2,6513b b=9,7534-6,9524 = 1,06 2,6513 d.4) Función Exponencial.- Cuando se desea calcular tasas de crecimiento, tomando en cuenta los puntos observados en el período histórico, se recurre a la siguiente función: x*log y 1,0000 1,6465 2,7322 2,9089 4,1359 7,6454 9, ,8484 Y = ab x (1)Σlogy=nloga+Σxlogb (2)Σxlogy=Σxloga+Σx 2 logb (1) 9,7534 =7loga+19,5logb (2) 29,8484 =19,5loga+70,55logb 0,0771 =0,0826loga Loga=0,771 =0,9334antilog = 8,58 0,0826 Reemplaz. En ec. (1) 9,7534=7(0,9334)+19,5logb logb=9,7534-6,5339 = 1,06 19,5 2.- Correlación.- Una de las principales dificultades que nos presenta la regresión es la confiabilidad en la función utilizada, para lo cual recurrimos a otro tipo de análisis denominado método de Correlación el cual determina el grado de relación existente entre las variables y el efecto producido por el cambio de una variable con respecto de la otra.

5 Tipos de Correlación.-El tipo de Correlación debe ser analizado en el diagrama de dispersión en base a la forma que toma la curva de la función y a la relación entre las variables. Cuando el análisis se basa en el estudio de dos variables se denomina Correlación simple, cuando se analizan mas variables se las denomina Correlación múltiple. LINEAL LINEAL NO LINEAL NO LINEAL LINEAL POSITIVA NEGATIVA POSITIVA NEGATIVA PERFECTA SIN CORRELACION Medidas de Correlación.- Se utiliza para determinar el grado de Correlación existente entre las variables observadas, mediante los siguientes indicadores. a) Varianza General.- Es utilizada para la determinación del coeficiente de Correlación y se obtiene sumando la varianza no explicada con la varianza explicada. (Yi-y) 2 = (Yi-y*) 2 + (Y*-y) 2 VAR.TOTAL = VAR. NO EXPLIC.+ VAR. EXPLIC. 2103,71 = 9, ,38 Ejemplo.-En base a la función lineal Y= 11.36X 2,22 establecer si dicha función puede ser confiable. "X" "Y" y* (yi-y) 2 (yi-y*) 2 (y*-y) ,14 377,52 0,74 411,68 1, ,68 208,22 1,74 248,06 2, ,64 88,92 2,69 60,68 2, ,77 71,06 3,13 44,36 2, ,59 0,32 0,17 0,03 4, ,90 423,12 1,21 379,08 5, ,26 934,52 0,07 950, ,71 9, ,38 b) Coeficiente de Determinación.- Es el cociente de la variación explicada y la variación general y es de gran utilidad para la determinación del coeficiente de Correlación. Su expresión matemática esta dada por: r 2 = VARIACION EXPLICADA = (Y*-y) 2 = 2094,38 = 0,9956 VARIACION TOTAL (Yi-y) ,71

6 c) Coeficiente de Correlación.- Es la raíz cuadrada del cociente de los valores calculados y los valores estimados. Su valor esta comprendido entre (-1) y (+1) determinando la correlación positiva o negativa; el valor cero significa que existe una gran correlación entre la variables. r = r 2 = x 100% = 99,78% d) Error típico de la Estima.- Es la sumatoria de los desvíos cuadráticos de las variables observadas y estimadas. El error típico tiene propiedades análogas a las de la desviación típica ya que poseen similar expresión matemática. ƒyt=variación NO EXPLICADA = Ʃ(yi-y*) 2 = 9,75 = 1,18 N 7 7 e) Margen de Seguridad (Intervalos de Confianza).- Nos ayuda a determinar el grado de confianza en la utilización de una función determinada y se calcula sumando y restando a los valores máximos y mínimos de (Y*), el valor del error típico de la estima, con lo cual se obtienen dos líneas paralelas. Y* = 9,14 ± 1,18 = 10,32 y 7,86 Y* = 60,26 ± 1,18 = 61,44 y 59, Y X

7 f) Margen de Error y Margen de Confianza.- Se denomina margen de error al cociente de dividir los valores del número de observaciones que han quedando fuera del margen de seguridad entre el numero total de observaciones. Margen de confianza es el cociente entre las observaciones que han quedando dentro del margen de seguridad y el número total de observaciones. El margen de confianza debe ser superior al 60% para que tengamos la seguridad que utilizamos una curva de mejor ajuste de regresión. Si el margen de seguridad no fuese superior al 60% la curva de regresión debe ser ajustada a otro tipo de función. Ambos márgenes deben ser expresados en términos porcentuales y la suma de ambos debe dar como resultado el 100% Me = No.Observac.fuera del MS.X 100% = 2 x 100 = 28,57% N 7 Mc = No.Observac.dentro del MS.X 100% = 5 x 100 = 71,43% N 7 Interpretación.- Existe un 71,43% de confianza que la función lineal de regresión de los mínimos cuadrados Y= 11,36X-2,22 es la más confiable, al cumplir con la siguiente condición: MC > 60% FIN