ANÁLISIS DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

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1 CAPITULO 3 ANÁLISIS DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 3. INTRODUCCIÓN La etabilidad relativa y la repueta tranitoria de un itema de control en lazo cerrado etán directamente relacionada con la localización de lo polo de dicha función de tranferencia (o la raíce de la función caracterítica) en el plano complejo, por tal razón e neceario analizar el comportamiento de lo polo del itema en lazo cerrado a la variación de lo parámetro, en otra palabra, e importante el análii del Lugar Geométrico de la Raíce del itema en lazo cerrado. Ete capitulo etudia la técnica para el trazado del Lugar Geométrico de la Raíce en forma manual y con ayuda de Matlab. 3. DEFINICIÓN DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES La técnica del Lugar Geométrico de la Raíce (LGR) e un método gráfico para dibujar la poición de lo polo del itema en el plano complejo a medida que varia un parámetro, la información que proporciona ete método e utilizada para el análii de la etabilidad y funcionamiento del itema. En la figura 3. e muetra un itema en lazo cerrado, en donde la contante e el parámetro que e va a variar para trazar el LGR, la variación de e dede cero hata infinito (0 < ).

2 Univeridad del Cauca 36 R() + _ Planta G() C() K Figura 3.: Sitema Realimentado. Un punto del plano hace parte del LGR de G(), i cumple con la condicione de magnitud y ángulo. 3.. Condición de Magnitud y Ángulo Dada la ecuación 3. o función caracterítica del itema. + G() = 0 (3.) Depejando 3. G() = - Ecrito de otra forma: G ( ) = (3.) G() =80 0 ± n360 0 n {0, ±, ±,...} (3.3) La ecuacione 3. y 3.3 e denominan condición de Magnitud y Ángulo repectivamente, para que un punto del plano ea parte del LGR de un itema debe cumplir con eta do condicione. Ejemplo 3. Determinar i el punto 0 = -+j hace parte del LGR del itema en lazo cerrado repreentado por la iguiente función de tranferencia. + F ( ) = ( + ) + 4)( + 5) Lo polo de F() on: 0, -5 y ± j. Lo cero de F() on: -. Para determinar i 0 hace parte del LGR e debe comprobar la condición de ángulo, para lo cual e ubican en el plano complejo lo polo y cero del itema y luego e determina el aporte angular de eto con repecto al polo o. Análii del Lugar Geométrico de la Raíce

3 Univeridad del Cauca 37 La figura 3. muetra ete procedimiento. jw φ =0 o φ 4 ψ o φ σ φ 3 Figura 3.: Medición de Fae de F(). Para determinar el aporte angular de cada polo y cero del itema al punto 0, calculamo lo ángulo ψ n (aporte angular del cero) y φ n, (aporte angular del polo) aí: cero - polo = ángulo de G() Luego, G() = ψ - (φ + φ + φ 3 + φ 4 ) G() = G() = Pueto que la fae de G() no e un múltiplo entero de ±80 0, e concluye que el punto 0 no hace parte del LGR de G(). En otra palabra, el punto 0 no cumple con la condición de ángulo, por tal motivo no hace parta del LGR. 3.3 TRAZADO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES La ecuación caracterítica del itema proporciona información valioa con repecto a la repueta del itema cuando e determina la raíce de la ecuación; para trazar el LGR del itema primero e debe determinar la función caracterítica del itema. +G() = 0 Luego e factoriza G(), Análii del Lugar Geométrico de la Raíce

4 Univeridad del Cauca 38 + Depejando m i= ( + z ) n ( + p j ) j= i = 0 n m ( + p j ) + ( + zi ) = 0 j= (3.4) i= Luego e ubica en el plano complejo lo polo y cero de la ecuación 3.4. recuerde que lo polo e repreentan por una y lo cero con una o. Para dibujar el LGR, é varia entre cero e infinito. De la ecuación 3.4 e puede deducir que: Sí =0 entonce la raíce de la ecuación caracterítica on lo polo de G(). Sí K entonce la raíce de la ecuación caracterítica on lo cero de G(). Por lo tanto el LGR inicia en lo polo de G() y termina en lo cero de G() a medida que aumenta de cero a infinito. Otra caracterítica importante a tener en cuenta del LGR e que ete gráfico e imétrico con repecto al eje real, ya que la raíce compleja de un polinomio deben aparecer en pareja (raíce compleja conjugada). El número de egmento que componen el LGR de un itema e igual al número de polo en lazo abierto del proceo, ya que en itema dinámico el número de polo e mayor que el número de cero. N = n p - n z (3.5) Donde N e el número de egmento del LGR que terminan en polo en el infinito, n z el número de cero del itema y n p el número de polo. N también determina el número de aíntota del LGR. Como el número de polo e mayor que el de cero, entonce en el gráfico del LGR del itema habrá egmento que terminen en cero en infinito, y dicho egmento tomaran la dirección que indiquen la aíntota, el calculo de dicha aíntota e muetra a continuación Calculo de número, Ángulo y Punto de Corte de Aíntota Una vez ubicado lo polo y cero del itema en el plano complejo y haber determinado el número de egmento que compone el LGR, el iguiente pao Análii del Lugar Geométrico de la Raíce

5 Univeridad del Cauca 39 e el de calcular y dibujar la aíntota, recuerde que lo egmento del LGR del itema inician en lo polo y terminan en lo cero iguiendo la aíntota. El punto del cual parten la aíntota eta determinado por: n m polo cero p j j = i= zi σ = = (3.6) n n n n p z p z El ángulo de cada aíntota con repecto al eje real del plano complejo eta determinado por: ( q + ) 0 φ = 80 q= 0,,,..., (n p - n z -) (3.7) n p n z El valor de q varia de acuerdo al número de aíntota del LGR (número de egmento del LGR), por ejemplo i el número de aíntota del LGR e 3, q tomará lo valore de 0, y. Ejemplo 3. Siguiendo el análii del LGR del ejemplo 3., calcular el número de aíntota, el ángulo de cada una, el punto de partida, luego de lo cálculo dibujar en el plano complejo la aíntota. F ) = + + = 4 3 ( + ) + 4)( + 5) ( El número de aíntota e: n p - n z = 4 - = 3 Lo ángulo de cada aíntota on: Para q =0 ( q + ) φ = 80 = 80 = 60 n p n z 3 Para q = ( q + ) 0 0 φ = 80 = 80 n p n z Para q = ( q + ) 0 0 φ 3 = 80 = 300 n p n z Análii del Lugar Geométrico de la Raíce

6 Univeridad del Cauca 40 El punto de partida de la aíntota e: σ n m p z j= j i= i j = n p n z = ( 5 j + 0) ( ) 3 =.66 Una vez obtenido el punto de partida y la pendiente de la aíntota e dibujan en el plano complejo. jw σ Figura 3.3: Aíntota de F() Calculo del Punto de Ruptura del Lugar Geométrico de la Raíce Para determinar el punto de alida del LGR del eje real, e requiere depejar de la ecuación caracterítica del itema, como lo indica la ecuación 3.8. P() = (3.8) Para encontrar el punto de ruptura del LGR, e encuentra el máimo de P(), lo e logra derivando P() con repecto a e igualar a cero. d d () dp = d = 0 (3.9) La ecuación 3.9 e el método analítico de encontrar el punto de ruptura del LGR, como reultada e obtendrá una función de olo un orden menor que el orden del itema, la raíce de eta función deben er analizar para determinar cual e el o lo punto de ruptura del LGR, ete análii e realiza por medio de la condición de fae, para determinar cuale de la raíce de la ecuación 3.9 hace parte del LGR. Ejemplo 3.3 Teniendo en cuenta la figura 3., determinar el punto de ruptura del LGR. Análii del Lugar Geométrico de la Raíce

7 Univeridad del Cauca 4 G() = /(+3)(+5) Entonce + = 0 ( + 3)( + 5) P() = -(+3)(+5) Aplicando la ecuación 3.9 dp( ) d = 8 = 0 = -4 Luego el punto de ruptura del LGR e (-4,0) del plano complejo Calculo del Punto de Corte del Lugar Geométrico de la Raíce con el Eje Imaginario Si el LGR de un itema de control eta en el emiplano derecho del plano, indica que el itema e inetable, lo cual e verifico con el criterio de Routh- Hurwitz. Si e calcula el arreglo de Routh-Hurwitz con como el parámetro variable del itema e puede determinar lo valore de para que el LGR pae del emiplano izquierdo al derecho del plano complejo, una ve hallado, e fácil encontrar el valor de la frecuencia para la cual el itema preenta u polo obre el eje imaginario. Ejemplo 3.4 Dada la iguiente función de caracterítica, determinar el punto por el cual el LGR corta el eje imaginario. + = 0 [( + 4) + 6] donde > 0 la función caracterítica del itema e = 0 Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz Análii del Lugar Geométrico de la Raíce

8 Univeridad del Cauca Del arreglo de Routh-Hurwitz e puede obervar que puede haber un cambio de igno i > 56, i = 56, entonce lo polo del itema de control etán ubicado obre el eje imaginario. Para determinar la frecuencia a la que ocurre ete corte con el eje imaginario, e hace el análii de la egunda fila del arreglo ( ) 8 + = 0 = 8(jw) + 56 como = jw -8w + 56 = 0 w = 3 = ± rad/eg Lo que quiere decir que el LGR corta al eje imaginario en ± j Ángulo de Salida (Polo) y llegada (Cero) Sabemo que el LGR inicia en lo polo y termina en lo cero del itema en lazo abierto, para poder determinar con preciión la dirección de cada egmento del LGR e neceario calcular el ángulo de alida y llegada en cada polo y cero. Ete calculo e realiza aplicando la condición de ángulo, la cual e aplicada para cada polo y cero del itema en lazo abierto. En la figura 3.4 e muetra como e calcula el ángulo de alida de un egmento del LGR. φ 3 jw φ σ φ Figura 3.4: Calculo de Ángulo de Salida. Análii del Lugar Geométrico de la Raíce

9 Univeridad del Cauca 43 Para encontrar el ángulo de alida en el polo + j e toma una vecindad muy pequeña alrededor del polo, a la cual e le aplicará la condición de ángulo aí: 80 0 = φ + φ + φ 3 (3.0) De 3.0 depejamo el ángulo φ 3, φ 3 = φ - φ El reultado indica el ángulo por el cual debe alir el egmento del LGR correpondiente al polo. Ete proceo e aplica a cada polo y cero del itema en lazo abierto Trazado del Lugar Geométrico de la Raíce Para el trazado de LGR, e retoman pao a pao lo anteriore ítem, a continuación e realizará un ejemplo del trazado del LGR. Ejemplo 3.5 Dado el itema de la figura 3.4, dibuje el LGR, determinando la aíntota, punto de ruptura y corte con el eje imaginario. R() + _ S+ S C() K Figura3.4: Sitema Realimentado i) Marcar lo polo y cero en el plano. jw o - σ Figura 3.5: Ubicación de Polo y Cero. Análii del Lugar Geométrico de la Raíce

10 Univeridad del Cauca 44 ii) Calcular número, ángulo y punto de corte de la aíntota. N = = Luego e tiene una aíntota, el ángulo con repecto al eje real e: ( q + ) 0 0 f = 80 = 80 para q = 0 n n p z No e neceario calcular punto de corte ya que olo hay una aíntota. iii) Calcular el punto de ruptura. La función caracterítica e: ( + ) + = 0 P ( ) = + Luego e determina el máimo de P() dp d () ( + ) = ( + ) = 0 Lo valore de para que e cumpla la anterior ecuación on: = 0 y = -. Como el itema tiene do polo en cero e lógico penar que = 0 e un punto de ruptura, para aber i = - e otro punto de ruptura e neceario aplicar la condición de ángulo en ete punto, de la figura 3.5 G() = ψ - φ = = Como cumple la condición de ángulo = - e punto de ruptura del LGR. iv) Corte con el eje imaginario. Para ete punto e utiliza el criterio de Routh-Hurwitz, para lo cual e requiere la función caracterítica del itema, la cual e: + + = 0 Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz Análii del Lugar Geométrico de la Raíce

11 Univeridad del Cauca Para que el LGR corte el eje imaginario debe er igual a cero. v) Lo ángulo de alida y de llagada e calculan para polo y cero complejo conjugado. vi) Para el trazado del LGR, e analizan lo dato anteriormente obtenido y e trazan lo egmento del LGR. La figura 36 muetra el LGR. jw - o - σ Figura 3.6: LGR de G() = (+)/. 3.4 TRAZADO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES CON MATLAB A continuación e preenta el programa en Matlab para dibujar el LGR. El itema el cual e le va a trazar el LGR e: F () = Lo polo de F() on: = 0, = -5 y = - ± j. Lo cero de F() on: = -. % Definición de la % Función de Tranferencia Num=[ ] Den=[ ]; F=tf(Num,Den); % Graficación del LGR rlocu(f) Análii del Lugar Geométrico de la Raíce

12 Univeridad del Cauca 46 Figura 3.6: Lugar Geométrico de la Raíce. Como ejercicio el lector puede verificar por medio de Matlab el LGR del ejercicio 3.5. Análii del Lugar Geométrico de la Raíce