Interrogación 2. Pontificia Universidad Católica de Chile Escuela de Ingeniería Departamento de Ciencia de la Computación. Segundo Semestre, 2003

Transcripción

1 Pontificia Universidad Católica de Chile Escuela de Ingeniería Departamento de Ciencia de la Computación Interrogación 2 IIC 2222 Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales Segundo Semestre, 2003 Esta interrogación tiene 4 preguntas. Escriba su nombre en todas las páginas. Pregunta 1 /30 Pregunta 2 /30 Pregunta 3 /30 Pregunta 4 /30 Total /120 Nota Duración: 2 hrs.

2 IIC 2222 Interrogación 2 2 Pregunta 1 [30 puntos] Diga si los siguientes lenguajes son regulares o no y demuestre su respuesta. (a) {a i b j i y j no son ambos divisibles por 3}. El lenguaje es regular; de hecho, si r 0 = (000) (0 + 00), r 1 = (111) (1 + 11), entonces el lenguaje es generado por (b) {a i b j i > j o 2i < j}. r 0 r 1 + (000) r 1 + r 0 (111) El lenguaje no es regular, porque no satisface el lema de bombeo. Sea N la constante del lema, L el lenguaje, y z = a N! b 3N!. Observemos que z L y z N, por lo que podemos escribir z = uvw, con uv N y v > 1 para algunos u, v, w. Notemos que v = a k con 1 k N, y que además z i = uv i w = a N!+(i 1)k b 3N! L, para todo natural i. Sea p = 3N! N! k + 1, entonces z p = a 3N! b 3N! L, luego como L no satisface el lema de bombeo, no es regular. (c) {a 2i b 3j i, j 0}. El lenguaje no es regular, porque no satisface el lema de bombeo. Sea N la constante del lema y z = b 3N (z L, z N).Podemos escribir z = uvw, con uv N y v > 1 para algunos u, v, w. Notemos que z = b k (1 k N) y que z i = b 3N +(i 1)k L, para todo i. Demostraremos que z 2 = b 3N +k L. De hecho, es claro que puesto que 1 k N k < 2 3 N. 3 N < 3 N + k < 3 N+1 Como L no cumple el lema de bombeo, L no puede ser regular.

3 IIC 2222 Interrogación 2 3 Pregunta 2 [30 puntos] Construya gramáticas libres de contexto para: (a) {a i b j c k i = 2j + k}. S asc aaab ε A aaab ε (b) {a i b j c k j i + k}. S AC A aab aa ε C bcc Cc ε (c) {0 i 1 j 2i j 4i}. S 0S11 0S111 0S1111 ε

4 IIC 2222 Interrogación 2 4 Pregunta 3 [30 puntos] Conteste, a lo más, dos de las siguientes preguntas (a) Si L y R son lenguajes regulares sobre Σ y h : Σ es un homomorfismo, entonces: Q = {(h(x)) i (h(y)) i i 0, x L, y R} es regular?, Es libre de contexto? Demuestre ambas respuestas. Q no es regular en general (4 puntos). De hecho, sea h(0) = a, h(1) = b y L = {0} y R = {0}. En este caso, Q = {a i b i i 0}. Por otro lado (6 puntos), como h(l) y h(r) son regulares, también son libres de contexto y por lo tanto pueden ser generados usando una gramáticas G L = (V L, Σ, P L, S L ) y G R = (V R, Σ, P R, S R ), respectivamente. La gramática G Q = (V, Σ, P, S), con V = V L V R y P R = P L P R {S S L SS R ε} genera a Q (suponemos, sin pérdida de generalidad que V R y V L son disjuntos). Claramente, si se hacen i derivaciones a partir de S, y se reemplaza siempre S por el lado derecho de la primera producción, y por último se escoge reemplazar a S por la última producción se obtiene: S i S i LSS i G S i LS i G w L w G con w L h(l) y w G h(r). Con esto se concluye que L(G Q ) Q. Por otra parte, si w Q, entonces w es de la forma x 1... x n y 1... y n con x i h(l) y y i h(r). Claramente, podemos generar una palabra de esa naturaleza a partir de S. (b) Demuestre que la gramática G = (V, T, P, S) con P : S asbs bsas ab ba SS es tal que si w T y S w, entonces w tiene el mismo número de a s que de b s. Demuestre, además, que no genera el conjunto de palabras en {a, b} con igual número de a s que de b s. Demostramos por inducción (7 puntos) en el número de derivaciones que toda palabra generada por la gramática tiene igual número de a s que de b s. Caso base (un paso de derivación). Vemos que las únicas palabras que son generadas en 1 paso son ab y ba, que cumplen con la propiedad. Inducción. Suponemos que todas las palabras que son derivadas en hasta k pasos tienen igual número de a s que de b s. Sea w una palabra derivada en k + 1 pasos. Entonces, tenemos 3 casos. 1) S SS xy = w (S x, S y). Tanto la derivación de x como la de y son de menos de k pasos y por lo tanto, por h.i. tienen igual número de a s que de b s. Claramente, w cumple con la propiedad. 2) S asbs axby = w (S x, S y). Tanto la derivación de x como la de y son de menos de k pasos y por lo tanto, por h.i. tienen igual número de a s que de b s. Claramente, w cumple con la propiedad. 3) S bsas bxay = w. La argumentación es análoga al caso anterior. Por último (3 puntos) la gramática no genera a todas las palabras con igual número de a s que de b s. De hecho, no generera a ε.

5 IIC 2222 Interrogación 2 5 (c) Demuestre que la gramática G = (V, T, P, S) con P dado por: S aas aaaaas ε Es ambigua y proponga una gramática no ambigua para L(G). Justifique su proposición. La gramática es ambigua (5 puntos) pues es posible encontrar más de una derivación por la izquierda para a 1 0. Una derivación usa 10 veces a S aas, y la otra dos veces a S aaaaas. (5 puntos) La gramática genera todas las palabras de la forma a 2k+5p, k, p 0. Claramente, la gramática genera todas las palabras de largo par (basta con hacer p = 0, que es equivalente a derivar sólo usando la producción S aas y finalmente con S ε). Sin embargo, no todas, pero casi todas las palabras de largo impar son generadas. De hecho, haciendo p = 1 se ve que es posible generar todas las palabras de la forma a 2k+4+1. Esto incluye a todas las palabras de largo par, excluyendo a a y aaa. Por tanto, la gramática no ambigua para L está dada por las siguientes producciones: S ε aa B B aaaa ab De esta manera, sólo hay una forma de producir las palabras de la forma a 2k+5p, k, p 0.

6 IIC 2222 Interrogación 2 6 Pregunta 4 [30 puntos] Conteste sólo la (a) o sólo la (b) (a) Encuentre una expresión regular para el lenguaje aceptado por el AFND dado por la figura , (b) i. Encuentre un AFD mínimo para el lenguaje de todas las palabras binarias que no contienen 11 ni a 00. Demuestre que es mínimo. ii. Dé un algoritmo para determinar, dado dos AFD s M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) y M = (Q, Σ, δ, q 0, F ), si L(M) L(M ).

7 IIC 2222 Interrogación 2 7 [hoja extra pregunta 4]

8 IIC 2222 Interrogación 2 8 [hoja extra pregunta 4]