12/10/2011 DIVISIBILIDAD TEMA 1 GRUPO 2A DIVISIBILIDAD

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1 DIVISIBILIDAD TEMA 1 GRUPO 2A 1 2 DIVISIBILIDAD : DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE VARIOS NÚMEROS. QUÉ SE ENTIENDE POR DIVISIBILIDAD? EL ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES DE LOS Y COMPUESTOS. TODO NÚMERO TIENE AL MENOS DOS DIVISORES: ÉL MISMO Y EL 1. EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS. 3 RECORDAD: LOS DIVISORES DE UN NÚMERO SON LOS NÚMEROS NATURALES TAL QUE LA DIVISIÓN POR ELLOS ES EXACTA, ES DECIR, DE RESTO CERO. 4 LEEMOS EN LA PAG. 21: LA UTILIDAD DE LOS RECORDAD MIENTRAS ESTUDIEIS: EN LA ACTUALIDAD HEMOS ENCONTRADO UNA APLICACIÓN DE UNA PARTE DE LAS MATEMÁTICAS SIN UNA APARENTE UTILIDAD PRÁCTICA DURANTE SIGLOS SON AQUELLOS QUE TIENEN DOS ÚNICOS DIVISORES: ÉL MISMO Y LA UNIDAD. SON NÚMEROS SIN FACTORES. Por ejemplo: 1 no es primo. 2 sí es primo

2 Criba de Eratóstenes: 2,3,5 Busca el error o los errores. SIGLO III a.c. El matemático y filósofo griego Eratóstenes escribió en una plancha metálica tres o cuatro mil números y empezando por el dos fue contando de dos en dos e hizo agujeros en los lugares correspondientes; luego de tres en tres, luego de cinco en cinco y así sucesivamente. Los números que quedaban eran los primos. EJERCICIO: Por qué? 7 8 EUCLIDES HACIA EL 300 a.c. DEMOSTRÓ QUE EXISTEN INFINITOS. EJERCICIO: MULTIPLICA LOS NÚMEROS PRIMOS DESDE DOS HASTA EL QUE TÚ QUIERAS Y AL RESULTADO SUMALE UNO QUÉ OBTIENES? PROBAR QUE SI UN NÚMERO ES PRIMO, EL ANTERIOR O EL SIGUIENTE ES MÚLTIPLO DE 6. HASTA AHORA NO TENEMOS UNA FÓRMULA PARA PREDECIRLOS pero 9 10 NÚMEROS DE MERSENNE Mersenne se dio cuenta de que hay muchos números primos que cumplen que: SI p ES UN NÚMERO PRIMO : 2 p -1 TAMBIÉN ES UN NÚMERO PRIMO. EJERCICIO: Comprueba para 2, 3,5 N.F. Cole demostró en 1903 que no es primo 11 CONJETURA DE GOLDBACH FUE PROPUESTA POR GOLDBACH A EULER EN NADIE HA ENCONTRADO UN CONTRAEJEMPLO.. NO SE HA DEMOSTADO. TODO NÚMERO PAR PUEDE PONERSE COMO SUMA DE DOS POR EJEMPLO: 18=5+13; 40 =17+ 60= =

3 GEMELOS PAREJAS DE PRIMOS QUE SE DIFERENCIAN EN DOS UNIDADES.: 5 y7; 11y13; 29 y 31 NADIE HA DEMOSTRADO QUE EXISTEN UN NÚMERO INFINITO DE ESTAS PAREJAS NÚMEROS COMPUESTOS SON AQUELLOS QUE NO SON PRIMOS. TIENEN MÁS DE DOS DIVISORES: ADEMÁS DE ÉL MISMO Y DE UNO HAY OTROS NÚMEROS POR LOS QUE AL DIVIDIRLOS LA DIVISIÓN ES EXACTA. Por ejemplo: 4 no es primo, ES COMPUESTO. 15 es COMPUESTO REGLAS DE DIVISIBILIDAD Completa en tu cuaderno: Un número es DIVISIBLE por : 2 SI.. 3 SI.. 5 SI.. 7 SI.. 10 SI 11 SI Ejercicios del libro: Pág 11. Ej. 1 Pág 19. Ej. 51,52 Pág 18. Ej. 44,45 15 FACTORIZACIÓN DESCOMPONER COMO PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS MÉTODO ORDENADO: SE COMPRUEBA SI ES DIVISIBLE PARA 2,3,5,7,11 UTILIZANDO LOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. Busca por el libro algún otro método propuesto. Tarea: Descomponemos en factores primos 12 y Descomponemos en factores primos Ejercicios del libro: Pág. 11. Ej. 2,3,4,6. Pág. 18. Ej. 47,54. Hacemos lo mismo con: 90 y

4 DIVISORES DE UN NÚMERO Los divisores de un número son aquellos números naturales tales que la división por ellos es exacta. Llamamos divisores propios a todos los divisores de un número salvo él mismo. Divisores de 6= 1,2,3,6 Divisores propios de 6=1,2,3 19 LOS NÚMEROS PERFECTOS Los números perfectos son aquellos números que son iguales a la suma de todos sus divisores propios. Por ejemplo: 6,28,496 6= =. Los judíos y los cristianos quedaron entusiasmados con el número 6, para estas religiones el mundo fue creado en 6 días. El número de días que tarda la luna en dar una vuelta alrededor de la tierra o la duración del ciclo menstrual femenino es de 28 días, de ahí la identificación tradicional entre la mujer y la luna. 20 LOS NÚMEROS AMIGOS Y también existen Dos números son amigos si cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores propios del otro. Los divisores de 220 suman: =284 Los divisores de 284 suman: =220 Así que 220 y 284 son amigos. Otros amigos: 1184 y 1210; 2620 y Un número perfecto es amigo de sí mismo 21 Los números abundantes o excesivos:12,18 Los números deficientes o defectivos Los números semiperfectos: 18 Los números extraños Los números quasiperfectos Los números sociables Los números ambiciosos: 25 Los números intocables: 52, 88 Los números raros: 70, DIVISORES DE VARIOS NÚMEROS: 12, 30 DESCOMPONEMOS DIVISORES DE 12: 1,2,3,4,6,12 DIVISORES DE 30: 1,2,3,5,6,10,15,30 DIVISORES COMUNES 1,2,3,6 El divisor más grande común a ambos es el 6 Lo llamamos el máximo común divisor (MCD) 23 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Es el mayor de los divisores comunes Cómo se calcula? Se descomponen los números como producto de factores primos Se hace el producto de los factores comunes con menor exponente. Porqué es así? Ejercicios del libro: Pág. 13 Ej. 13,14,15,16,17. Pág. 13 Ej. 20, 21, 22, 23,

5 MÚLTIPLOS DE VARIOS NÚMEROS 12 y 30 Cómo se calculaban los múltiplos de un número? Los múltiplos comunes 60, 120,180,240 El múltiplo más pequeño común a ambos será: 60 Lo llamamos el mínimo común múltiplo (m.c.m) Multiplicamos por los números naturales: 12 1 = = = = = = = = = = = = = = MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Es el menor de los múltiplos comunes. Cómo se calcula? Se descomponen los números como producto de factores primos. Se hace el producto de los factores comunes y no comunes con mayor exponente. Porqué es así? Ejercicios del libro: Pág. 15 Ej. 26,27,28,29,30,31,32. Pág. 15 Ej. 33, 34, 35, 36, CALCULAR: M.C.D. (18,27,30) m.c.m.(18,27,30) PRACTICA Y REFUERZA: MCD Y mcm Pág.18 Ej. 46, 48, 49 y 50. Pág. 19 Ej. 55, 56, 57, 58, 59. AMPLIA: Pág. 19 Del ej. 60 al 66. Interés especial al Ej. 62. Qué te recuerda? AUTOEVALUATE : Pág. 20 Del ej. 1 al