Unidad 1: Probabilidad

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1 Cuál es la probabilidad de aprobar Introducción a la Probabilidad y Estadística? - - Introducción a la Probabilidad y Estadística Unidad 1: Probabilidad Cuál es la probabilidad de no encontrarme un embotellamiento en las 5 Esquinas cuando voy a clase? Todos los días nos hacemos preguntas sobre probabilidad e incluso los que hayan visto poco de la materia en cursos anteriores, tienen una idea intuitiva lo suficientemente correcta para lo que necesitamos de ella en este curso. En este tema vamos a: Recordar qué entendemos por probabilidad. Recordar algunas reglas de cálculo. Ver cómo aparecen las probabilidades en Ciencias de la Salud. plicarlo a algunos conceptos nuevos de interés en Cs. de la Salud. Pruebas diagnósticas. Unidad 1: Probabilidad 1 Unidad 1: Probabilidad 2 Nociones de probabilidad Frecuentista (objetiva): Probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa (%) de veces que ocurriría el suceso al realizar un experimento repetidas veces. Válidos NORML CLSIFICCION OSTEOPENI Frecuencia Porcentaje ,9% ,7% 64 6,4% ,0 NORML OSTEOPENI CLSIFICCION Porcentaje Subjetiva (bayesiana): Grado de certeza que se posee sobre un suceso. Es personal. En ambos tipos de definiciones aparece el concepto de suceso. Vamos a recordar qué son y algunas operaciones que se pueden realizar con sucesos. Sucesos Eventos Hechos Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (S). Se llama suceso, evento o hecho a un subconjunto de dichos resultados. Se llama suceso complementario de un suceso,, al formado por los elementos que no están en Se llama suceso unión de y, U, al formado por los resultados experimentales que están en o en (incluyendo los que están en ambos. Se llama suceso intersección de y, o simplemente, al formado por los elementos que están en y UNIÓN INTERS. Unidad 1: Probabilidad 3 Unidad 1: Probabilidad 4 1

2 Definición de probabilidad Se llama probabilidad a cualquier función, P, que asigna a cada suceso un valor numérico ), verificando las siguientes reglas (axiomas) S)1 0 ) 1 U))+) si Ø (Ø es el conjunto vacío). Podemos imaginar la probabilidad de un subconjunto como el tamaño relativo con respecto al total (suceso seguro) 100% Unidad 1: Probabilidad 5 Probabilidad condicional Se llama probabilidad de condicionada a, o probabilidad de sabiendo que pasa : ) ) ) con ) > 0 Error frecuentíiiiiiisimo: uno tamaño de otro respecto al No confundir probabilidad condicional con intersección. En ambos medimos efectivamente la intersección, pero En ) con respecto a S)1 En ) con respecto a ) Unidad 1: Probabilidad 6 Intuir la probabilidad condicional Intuir la probabilidad condicional ) 0,25 ) 0,10 ) 0,10 ) 0,25 ) 0,10 ) 0,08 ) 0,25 ) 0,10 ) 0,005 ) 0,25 ) 0,10 ) 0 )1 Probabilidad de sabiendo que ha pasado? )0,8 )0,05 Probabilidad de sabiendo que ha pasado? )0 Unidad 1: Probabilidad 7 Unidad 1: Probabilidad 8 2

3 lgunas reglas de cálculo prácticas Cualquier problema de probabilidad puede resolverse en teoría mediante aplicación de los axiomas. Sin embargo, es más cómodo conocer algunas reglas de cálculo: ) 1 - ) U) ) + ) - ) ) ) ) ) ) Independencia de sucesos Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno, no añade información sobre el otro. es independiente de ) ) y ) ) ) ) ) Prob. de que pasen y es la prob. de y que también pase sabiendo que pasó. Unidad 1: Probabilidad 9 Unidad 1: Probabilidad 10 Ejemplo (I) CLSIFICCION NORML OSTEOPENI MENOPUSI NO SI Se ha repetido en 1000 ocasiones el experimento de elegir a una mujer de una población muy grande. El resultado está en la tabla. Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga osteoporosis? Osteoporosis)64/10000,0646,4% Noción frecuentista de probabilidad Ejemplo (II) CLSIFICCION NORML OSTEOPENI Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis? OsteopeniaUOsteoporosis)467/ /10000,531 Son sucesos disjuntos Osteopenia OsteoporosisØ Probabilidad de tener osteoporosis o menopausia? MENOPUSI NO SI OsteoporosisUMenopausia)64/ / /10000,703 No son sucesos disjuntos Probabilidad de una mujer normal? (entiéndase ) Normal)469/10000,469 Normal)1-Normal )1-OsteopeniaUOsteoporosis) 1-0,5310,469 Unidad 1: Probabilidad 11 Unidad 1: Probabilidad 12 3

4 Ejemplo (III) Si es menopáusica probabilidad de osteoporosis? Osteoporosis Menopausia)58/6970,098 Probabilidad de menopausia y osteoporosis? MenopOsteoporosis) 58/10000, Otra forma: CLSIFICCION 58/1000 0,058 NORML OSTEOPENI MENOPUSI NO SI Menop Osteoporosis) Menop) Osteoporosis Menop) Unidad 1: Probabilidad 13 Ejemplo (IV) Son independientes menopausia y osteoporosis? Una forma de hacerlo Osteoporosis)64/10000,064 Osteoporosis Menopausia)58/6970,098 La probabilidad de tener osteoporosis es mayor si ha pasado la menopausia. ñade información extra. No son independientes! Otra forma? CLSIFICCION NORML OSTEOPENI MenopOsteoporosis) 58/1000 0,058 MENOPUSI NO SI Menop) Osteoporosis) (697/1000) x (64/1000) 0,045 La probabilidad de la intersección no es el producto de probabilidades. No son independientes. Unidad 1: Probabilidad 14 Partición de un espacio muestral 1 2 1, 2, 3, 4.. k sucesos de S, forman una partición de S si: la unión de todos ellos forman S sus intersecciones son disjuntas i ) > 0. Divide y vencerás 1 2 Todo suceso, puede ser descompuesto en componentes de dicha partición. ( 1 ) U ( 2 ) U ( 3 ) U ( 4 ) Suceso seguro Suceso seguro Nos permite descomponer el problema en subproblemas más simples. 4 Unidad 1: Probabilidad 15 Unidad 1: Probabilidad 16 4

5 Teorema de la probabilidad total Si conocemos la probabilidad de en cada uno de los componentes de una partición de S, entonces podemos calcular la probabilidad de. 4 ) ) 1 ) + 2 ) + 3 ) + 4 ) 1 ) 1 ) + 2 ) 2 )+ Suceso seguro 1 ) 2 ) 3 ) ) 2 ) 3 ) 4 ) Unidad 1: Probabilidad 17 Ejemplo (I): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%. T. Prob.. Hombres y mujeres forman una partición Qué porcentaje de fumadores hay? F) MF) + HF) M)F M) + H)F H) 0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 0,13 13% Estudiante 0,7 0,3 Los caminos a través de nodos representan intersecciones. Las bifurcaciones representan uniones disjuntas. Mujer Hombre 0,1 0,2 0,8 0,9 Unidad 1: Probabilidad 18 Teorema de ayes Si conocemos la probabilidad de en cada uno de los componentes de una partición, entonces si ocurre, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada i. donde ) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: ) 1 ) + 2 ) + 3 ) + ( 4 ) 1 ) 1 ) + 2 ) 2 ) + i ) i) ) Unidad 1: Probabilidad 19 Ejemplo (II): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. Qué porcentaje de fumadores hay? F) 0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 0,13 (Resuelto antes) Se elije a un individuo al azar y es fumador Probabilidad de que sea un hombre? H F) H ) F H ) H F) F) F) 0,3 0,2 0,46 0,13 Estudiante 0,7 0,3 Mujer Hombre 0,1 0,2 0,8 0,9 Unidad 1: Probabilidad 20 5

6 Ejemplo de prueba diagnósticas: Diabetes Los carbohidratos ingeridos terminan como glucosa en la sangre. El exceso se transforma en glucógeno y se almacena en hígado y músculos. Este se transforma entre comidas de nuevo en glucosa según necesidades. La principal hormona que regula su concentración es la insulina. La diabetes provoca su deficiencia o bien la insensibilidad del organismo a su presencia. Es una enfermedad muy común que afecta al 2% de la población (prevalencia) Una prueba común para diagnosticar la diabetes, consiste en medir el nivel de glucosa. En individuos sanos suele variar entre 64 y 110mg/dL. El cambio de color de un indicador al contacto con la orina suele usarse como indicador (resultado del test positivo) Valores por encima de 110 mg/dl se asocian con un posible estado prediabético. Pero no es seguro. Otras causas podrían ser: hipertiroidismo, cáncer de páncreas, pancreatitis, atracón reciente de comida Supongamos que los enfermos de diabetes, tienen un valor medio de 126mg/dL. Unidad 1: Probabilidad 21 Funcionamiento de la prueba diagnóstica de glucemia Valor límite: 110mg/dL Superior: test positivo. Inferior: test negativo. Probabilidad de acierto: Para enfermos Verdadero positivo (sensibilidad) Para sanos Verdadero negativo (especificidad) Probabilidad de error Para enfermos Falso Para sanos Falso + Unidad 1: Probabilidad 22 Cómo definir el punto de corte de la prueba diagnóstica? Una prueba diagnóstica ayuda a mejorar una estimación de la probabilidad de que un individuo presente una enfermedad. En principio tenemos una idea subjetiva de Enfermo). Nos ayudamos de Incidencia: Porcentaje de nuevos casos de la enfermedad en la población. Prevalencia: Porcentaje de la población que presenta una enfermedad. Para confirmar la sospecha, usamos una prueba diagnóstica. Ha sido evaluada con anterioridad sobre dos grupos de individuos: sanos y enfermos. sí de modo frecuentista se ha estimado: + Enfermo) Sensibilidad (verdaderos +) Tasa de acierto sobre enfermos. - Sano) Especificidad (verdaderos -) Tasa de acierto sobre sanos. No es simple. No es posible aumentar sensibilidad y especificidad al mismo tiempo. Hay que elegir una solución de compromiso: ceptable sensibilidad y especificidad. Unidad 1: Probabilidad 23 partir de lo anterior y usando el teorema de ayes, podemos calcular las probabilidades a posteriori (en función de los resultados del test): Índices predictivos Enfermo +) Índice predictivo positivo Sano -) Índice predictivo negativo Unidad 1: Probabilidad 24 6

7 Pruebas diagnósticas: aplicación T. ayes. P. a priori de enfermedad: incid., preval., intuición, Individuo Enfermo Sano Sensibilidad, verdaderos + Especificidad, Verdaderos - Falsos - Falsos + T+ T- T+ T- Ejemplo: Índices predictivos La diabetes afecta al 2% de los individuos. La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes. Su sensibilidad es de 0,945. La especificidad de 0,977. Calcular los índices predictivos. 0,977 Sano T ) Sano T ) Sano T ) + Enf 0,98 0,977 0,999 0,98 0, ,02 0,055 0,98 0,023 T- T+ T ) Individuo 0,02 0,055 T- T+ Enf T + ) Enf T + ) Enf T + ) + Sano T + ) 0,02 0,945 0,456 0,02 0, ,98 0,023 0,945 Unidad 1: Probabilidad 25 Unidad 1: Probabilidad 26 Observaciones En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad. continuación se le pasa una prueba diagnóstica que nos aportará nueva información: Presenta glucosuria o no. En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que esté enfermo. Nuestra opinión a priori ha sido modificada por el resultado de un experimento. - Qué probabilidad tengo de estar enfermo? - En principio un 2%. Le haremos unas pruebas. - Presenta glucosuria. La probabilidad ahora es del 45,6%. Qué hemos visto? Álgebra de sucesos Unión, intersección, complemento Probabilidad Nociones Frecuentista Subjetiva o ayesiana xiomas Probabilidad condicionada Reglas de cálculo Complementario, Unión, Intersección Independencia de sucesos Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos Teorema probabilidad total. Teorema de ayes Pruebas diagnósticas priori: Incidencia, prevalencia. Eficacia de la prueba: Sensibilidad, especificidad. posteriori: Índices predictivos. Unidad 1: Probabilidad 27 Unidad 1: Probabilidad 28 7