8. Elementos de geometría plana

Transcripción

1 8. Elementos de geometría plana 1. Elementos básicos de la geometría 2. Ángulos 2.1. El sistema sexagesimal Suma de ángulos Resta de ángulos Multiplicar por un número Dividir por un número 2.2. Clasificación de ángulos 3. Figuras geométricas Nivel I: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA 3.1. Polígonos Triángulos Cuadriláteros 3.2. Circunferencia y círculo 4. Perímetros y áreas de figuras geométricas 5. Soluciones a los ejercicios de la unidad 1. Elementos básicos de la Geometría Todos los cuerpos que nos rodean ocupan una posición en el espacio que se llama extensión. La extensión admite tres direcciones: la longitud, la anchura y la altura, cada una de las cuales se llama dimensión. Hay cuerpos que se reducen a una sola dimensión, como la línea, y otros a dos dimensiones, como la superficie. El punto es la mínima expresión de la extensión, y, por tanto, no tiene ni longitud, ni anchura, ni altura; solamente nos indica una posición en el espacio. RECTA Una recta es una sucesión infinita de puntos alineados. Tiene una dimensión. Ejercicio 8.1 Un rayo láser, qué elemento geométrico te sugiere? Y un folio? 8.2 Es posible dibujar una línea recta en toda su extensión? Y un plano? SEMIRECTA Sobre una recta, un solo punto A determina dos semirrectas, a la izquierda y derecha del mismo. 1

2 SEGMENTO Un segmento rectilíneo es la parte de recta comprendida entre los puntos A y B. Ejercicio 8.3 Puedes dar ejemplos reales que te sugieran la idea de segmento rectilíneo? 2. Ángulos Ángulo es la parte de plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto común llamado vértice: MEDIDA Y CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS El ángulo formado por dos semirrectas alineadas se llama ángulo llano. La mitad de un ángulo llano se llama ángulo recto. 2.1 El sistema sexagesimal El sistema sexagesimal es el conjunto de unidades y normas para medir ángulos. Se denomina sexagesimal porque 60 unidades de un orden forman una unidad del orden superior. Cada unidad es sesenta veces mayor que la unidad de orden inmediato inferior y sesenta veces menor que la unidad de orden inmediato superior. La unidad de medida de ángulos en el sistema sexagesimal es el grado ( ). 2

3 Un grado es la medida del ángulo que resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales, por tanto, hay 90º en un ángulo recto: 1 recto = 90º Para medir ángulos con más precisión se utilizan unidades menores que el grado: el minuto ( ) y el segundo ( ). Grado (º) Minuto ( ) Segundo ( ) Se tienen las siguientes equivalencias: 1º = 60 = = 60 El instrumento más utilizado para medir ángulos es el transportador de ángulos. Ejemplos Expresa en segundos: = º = = Expresa en grados: :60º =4º :60 = :60º = 9º Dibuja un ángulo de 60. Se coloca el transportador sobre una recta haciendo coincidir el vértice del transportador con un punto marcado en la recta. A continuación, se hace una marca en 60º. Finalmente, utilizando una regla, se une el vértice del ángulo con la marca efectuada. 3

4 Ejercicios 8.4 Dibuja los siguientes ángulos con un transportador: a) 30º; b) 45º; c) 160º; d) 180º 8.5 Expresa en segundos: (a) 12 y 30 (b) 5º y 25 (c) 10º y Completa la siguiente tabla: Grados (º) Minutos ( ) Segundos ( ) Dibuja con tu transportador un ángulo de 90º y expresa su medida en minutos y en segundos. 8.8 Un ángulo llano mide 180º. Expresa su amplitud en minutos y en segundos. Haz lo mismo con un ángulo completo de 360º Suma en el sistema sexagesimal Para sumar medidas de ángulos se colocan los sumandos agrupados: grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. Para expresar el resultado hay que tener en cuenta que: Ejemplos Si los segundos sobrepasan 60, se transforman en minutos Si los minutos sobrepasan 60, se transforman en grados u horas 4

5 Ejercicios 8.9 Efectúa las siguientes operaciones: a) 15º º b) 1º º 16 9 c) 2º º d) 5º Resta en el sistema sexagesimal Para restar medidas de ángulos se colocan el minuendo y el sustraendo coincidiendo grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. Para expresar el resultado hay que tener en cuenta que: Ejemplos Cuando los minutos o segundos son mayores en el sustraendo que en el minuendo, transformamos, en el minuendo, una unidad de orden superior para poder efectuar la resta. Ejercicios 8.10 Efectúa las siguientes operaciones: a) 4º º b) 50º 43-3º 50 9 c) 77º - 14º 25 6 d) 35º º 5

6 2.1.3 Multiplicar por un número en el sistema sexagesimal Para multiplicar medidas de ángulos por un número natural: Se multiplica cada unidad por el número natural Se efectúan las conversiones y agrupamientos necesarios Ejemplo Ejercicio 8.11 Efectúa las siguientes operaciones: a) (12º 23 4 ) 3 b) (41º 10 ) Dividir por un número en el sistema sexagesimal Para dividir medidas de ángulos o de tiempos por un número natural: Ejemplo Se dividen los grados por el número natural El resto de grados se transforman en minutos y se añaden a los que ya hay. Después se divide el total de minutos por el número. El resto de minutos se pasa a segundos y se añaden a los que ya hay. Finalmente se dividen los segundos por el número. 6

7 Ejercicio 8.12 Efectúa las siguientes operaciones: a) (305º ): 5 b) (120º 48 ): Clasificación de ángulos Según la mayor o menor abertura de un ángulo, éste puede ser recto, agudo u obtuso. El ángulo agudo es el que mide menos que un recto, mientras que el ángulo obtuso mide más que un recto. Dos ángulos son complementarios si su suma es 90º, o sea, un recto. Cada uno es complemento del otro. Dos ángulos son suplementarios si su suma vale 180º, o sea, un llano. Cada uno es suplemento del otro. Ejercicios 8.13 Calcula el complementario y el suplementario de 30º Cuántos grados sexagesimales mide un ángulo de amplitud ¾ de un recto? Cuánto mide su ángulo suplementario? 8.15 Cuál es el complementario del ángulo diferencia de los de amplitud y?. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo, y que divide a éste en dos partes iguales. El trazado de la bisectriz, mediante regla y compás se muestra en la figura adjunta, donde el punto P se obtiene trazando arcos de igual radio con centros en A y en B. Al unir P con O se obtiene la bisectriz 7

8 Ejercicios 8.16 Comprueba haciendo uso del transportador, que la recta OP es la bisectriz del ángulo de la figura. Cuánto mide el ángulo? Y cada uno de los ángulos formados por la bisectriz? 3. Figuras geométricas Una figura geométrica es la porción del plano limitada por una línea cerrada. La línea puede ser poligonal dando lugar a los polígonos o curva dando lugar a los cículos sectores circulares y elipses. 3.1 Polígonos Una línea poligonal es la que se forma cuando se unen segmentos de recta de un plano. Las líneas poligonales puedes ser abiertas o cerradas, tal como muestran las figuras: Un polígono es una figura geométrica limitada por una línea poligonal cerrada. La palabra polígono proviene del griego y esta compuesta por poli (varios) y gono (ángulos). En la figura adjunta se observan los elementos básicos de un polígono: vértices, lados, diagonales, ángulos interiores y exteriores: Los lados son los segmentos que forman la línea poligonal. Los vértices son los puntos donde se unen dos lados consecutivos. Los ángulos interiores son los ángulos que forman dos lados consecutivos. Las diagonales don los segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Los ángulos exteriores son los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro contiguo hacia la región exterior. CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS Según el número de lados, los polígonos pueden ser: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos, El polígono que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales se dice que es un polígono regular. En éstos, aparecen dos nuevos elementos: 8

9 el centro, que es el punto interior que se halla a igual distancia de los vértices el apotema, que es el segmento perpendicular desde el centro a uno cualquiera de los lados, o bien, el segmento que une el centro con el punto medio de uno cualquiera de los lados... Nivel I: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA La amplitud de cada ángulo de un polígono regular de es: lados Ejercicio 8.17 Calcula la suma de todos los ángulos, la amplitud de uno de sus ángulos y la amplitud del ángulo central de un decágono regular Triángulos Un triángulo es un polígono de tres lados y, por tanto, es el polígono más sencillo que se puede construir. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Atendiendo a la longitud de sus lados, los triángulos pueden ser equiláteros (tienen los tres lados iguales), isósceles (tienen dos lados iguales y uno desigual) escalenos (sus tres lados son desiguales). Por otra parte, atendiendo a la amplitud de sus ángulos, los triángulos pueden ser rectángulos (tienen un ángulo recto), obtusángulos (tienen un ángulo obtuso) o acutángulos (los tres ángulos son agudos). En los triángulos rectángulos los lados que determinan el ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo recto, hipotenusa. Suma de los ángulos de un triángulo La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180. Disponiendo los ángulos del triángulo en forma consecutiva se obtiene un ángulo llano. 9

10 Ejercicio 8.18 Calcula la medida del ángulo sin valor en las figuras: Rectas y puntos notables Ejercicios 8.19 Dibuja las alturas del triángulo de la derecha. Señala cuál es el ortocentro Dibuja las medianas y señala el baricentro del triángulo del margen izquierdo Dibuja un triángulo de lados 8cm, 10 cm y 6cm. Traza sus mediatrices, halla su circuncentro y dibuja la circunferencia circunstrita Halla, dibujando sus alturas, el ortocentro de un triángulo acutángulo, de uno obtusángulo y de uno rectángulo. Comprobarás que en el primero está dentro del triángulo, en el segundo, fuera, y en el tercero, en el vértice del ángulo recto. 10

11 Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo cualquiera, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Ejercicios 8.23 Calcula el valor de hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 24 cm Halla la altura de un triángulo equilátero de 12 cm de lado Cuadriláteros Son polígonos de cuatro lados. La suma de los ángulos interiores es de 360º. Se clasifican, según sus lados y ángulos de la siguiente manera: Cuadrado: Tiene 4 lados iguales y 4 ángulos rectos. Rectángulo: Tiene 4 ángulos rectos; sus lados opuestos son iguales y paralelos; sus diagonales son iguales y se cortan en sus puntos medios. Rombo: Tiene los 4 lados iguales; sus lados opuestos son paralelos y sus ángulos opuestos son iguales. Sus diagonales son perpendiculares en sus puntos medios. Romboide: Tiene los lados y ángulos iguales 2 a 2. Trapecios: Un trapecio es un cuadrilátero con dos lados paralelos y dos lados no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases y la distancia entre ellos, altura: 11

12 Trapecio rectángulo Trapecio isósceles Trapecio escaleno Trapezoides Son cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo: Ejercicios 8.25 Las diagonales de un rombo miden 16 cm y 30 cm. Halla la longitud de su lado La altura de un trapecio isósceles mide 16 cm y sus bases, 5 dm y 3 dm. Halla la longitud de los dos lados iguales, aproximando hasta los milímetros. 3.2 Circunferencia y círculo Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo O que se llama centro de la circunferencia. El conjunto de puntos del plano interiores a la circunferencia es una figura plana que le llama círculo. En la circunferencia podemos distinguir los siguientes elementos: Radio: es el segmento que une el centro con un punto cualquiera a de la circunferencia. Diámetro: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. 12

13 Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia, sin pasar por el centro. Arco: es el conjunto de puntos comprendidos entre dos puntos cualesquiera de la circunferencia. Flecha o Sagita: Segmento comprendido entre el punto medio de una cuerda y el punto medio del arco comprendido menor. En el círculo se pueden considerar los siguientes elementos: Sector circular: es el conjunto de puntos del círculo comprendidos entre dos radios de la circunferencia. Segmento circular: es el conjunto de puntos del círculo comprendidos entre una cuerda de la circunferencia. Corona circular: es el conjunto de puntos comprendidos entre dos circunferencias concéntricas. Zona circular: es la porción de círculo limitada por dos cuerdas. zona ZONA CIRCULAR ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Ángulo central: Es la amplitud comprendida entre dos radios, es decir, un ángulo con vértice en el centro de la circunferencia. Varía entre 0º y 360º. La medida del arco es la del ángulo central. Ángulo inscrito: es aquél que tiene su vértice en la circunferencia. El ángulo inscrito mide la mitad del arco del sector que abarca. 13

14 Ángulo interior: tiene su centro en el interior de la circunferencia. Su medida es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto. Ángulo exterior: es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma. Su medida es la semidiferencia de los arcos que abarca. CIRCUNFERENCIA Y RECTAS Una recta y una circunferencia situadas en el mismo plano pueden ser: Secantes, si la recta corta a la circunferencia en dos puntos distintos. Tangentes, si la recta toca a la circunferencia, es decir, la recta tiene un punto de tangencia con la circunferencia (2 puntos de corte coincidentes). Exteriores, si la recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común. Ejercicios SECANTES TANGENTES EXTERIORES 8.27 una circunferencia tiene un radio de 26 cm. Trazamos una recta a 10 centímetros de su centro. Halla la longitud de la cuerda que determina la recta en la circunferencia Halla el valor de los ángulos centrales de una circunferencia dividida en: a) 3 partes iguales; b) 4 partes iguales; c) 5 partes iguales Traza una circunferencia de 5 cm de radio y señala en ella un punto P. A) Cuántas cuerdas puedes trazar que tengan un extremo en P? Cuánto mide la longitud máxima? B) Cuántas cuerdas hay que midan 5 cm y que tengan un extremo en P? Halla la distancia de una de esas cuerdas al centro de la circunferencia. 14

15 8.30 En una circunferencia de 15 cm de radio traza una cuerda AB a 12 cm del centro. A) Cuál es la longitud de AB? B) Cuántas cuerdas de la misma longitud que AB hay en esa circunferencia? Cuántas hay que sean paralelas a AB? Cuántas hay paralelas y de la misma longitud que AB? 8.31 A) Desde un punto O que dista 29 cm del centro de una circunferencia de radio 20 cm se traza una tangente. Calcula la distancia de P al centro de tangencia. B) Trazamos otra tangente desde otro punto Q, y al medir la distancia de Q al punto de tangencia obtenemos 30 cm. Cuál es la distancia de Q al centro de la circunferencia? 8.32 Cuánto miden los ángulos P, Q y R si AOB es un ángulo recto? 8.33 El triángulo ABC es isósceles, AB=AC Cuánto miden los ángulos de ese triángulo? 4. Perímetros y áreas de figuras geométricas El perímetro de un polígono es la suma de la longitud de todos sus lados. La longitud de una circunferencia es la medida de su contorno. El área de un polígono, es la superficie limitada por sus lados. El área de un círculo es la superficie limitada por el contorno de la circunferencia. En la tabla siguiente aparecen los perímetros y las áreas de las figuras geométricas más utilizadas. 15

16 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Figura Geométrica Perímetro Área Triángulo P= a + b + c Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide 16

17 Figura Geométrica Perímetro Área Trapecio P = a + b + c + d Circunferencia r Círculo Sector Circular Corona circular 17

18 Ejercicios 8.34 Halla el área de las figuras coloreadas: 8.35 Halla el área de un segmento circular de 60º de amplitud en un círculo de 12 cm de radio El área de una corona circular es 20 cm 2, y la circunferencia interna mide 8 cm. Calcula el radio de la circunferencia externa Una antena está sujeta por 4 tirantes de cable. El extremo superior de cada tirante se sujeta a la antena a una altura de 40 m. El extremo inferior está amarrado al suelo a una distancia de 30 m de la base. Cuántos metros de cable se han utilizado? 8.38 Halla el área de una fuente hexagonal cuyo lado mide 2 m y su apotema mide 3m Halla el perímetro de los siguientes polígonos regulares: 8.40 Halla el área de las siguientes figuras geométricas: 18

19 8.41 Hala el perímetro y el área de las siguientes figuras: 8.42 Halla el área de las zonas sombreadas: 8.43 Observa las circunferencias y nombra los diferentes tipos de ángulos que hay en cada caso Qué longitud de arco le corresponde a un ángulo central de 45º en una circunferencia de 12 cm de diámetro? Realiza el dibujo correspondiente. 19

20 5 Soluciones de los ejercicios de la unidad 8.1 Un rayo láser, qué elemento geométrico te sugiere? Y un folio? Una línea recta. Un plano. 8.2 Es posible dibujar una línea recta en toda su extensión? Y un plano? No. 8.3 Puedes dar ejemplos reales que te sugieran la idea de segmento rectilíneo? Se trata de una pregunta con respuesta abierta y, por tanto, no se ofrece aquí su solución. 8.4 Dibuja los siguientes ángulos con un transportador: a) 30º; b) 45º; c) 160º; d) 180º Para trazar ángulos con el transportador debemos seguir los siguientes pasos: 1º Se dibuja con la regla una semirrecta con origen en un punto O. Después coloca el transportador de manera que su centro coincida con el punto O y la semirrecta pase por 0. Busca con el transportador la medida del ángulo que se quiere dibujar (30, 45, 160 y 180 ) y marca una rayita. 2º Dibuja una semirrecta con origen en el punto O que pase por la rayita marcada. 8.5 Expresa en segundos: (a) 12 y 30 = =750 (b) 5º y 25 = =19500 (c) 10º y 20 = = Completa la siguiente tabla: Grados (º) Minutos ( ) Segundos ( ) 32400:3600= :60= :60= = :3600=1 3600:60= :3600=2 7200:60= :60= = :3600= :60= :60= =

21 8.7 Dibuja con tu transportador un ángulo de 90º y expresa su medida en minutos y en segundos. 90 =90 60 = = = Un ángulo llano mide 180º. Expresa su amplitud en minutos y en segundos. Haz lo mismo con un ángulo completo de 360º. 180 = = = = = = = = Efectúa las siguientes operaciones: a) 15º º = 23º b) 1º º 16 9 = 7º 0 20 c) 2º º =19º d) 5º + 67 = 5º +1º 7 =6º Efectúa las siguientes operaciones: a) 4º º = 2º 55 b) 50º 43-3º 50 9 = 46º c) 77º - 14º 25 6 = 62º d) 35º º = 28º Efectúa las siguientes operaciones: a) (12º 23 4 ) 3 = 37º 9 12 b) (41º 10 ) 4 = 164º Efectúa las siguientes operaciones: a) (305º ): 5 = 61º b) (120º 48 ): 2 = 60º Calcula el complementario y el suplementario de 30º Complementario: 90-30º = 59º Suplementario: º = 149º

22 8.14 Cuántos grados sexagesimales mide un ángulo de amplitud ¾ de un recto? Cuánto mide su ángulo suplementario? 67º 30 Su suplementario: 180º-67º 30 =112º Cuál es el complementario del ángulo diferencia de los de amplitud y?. El complementario de un ángulo es lo que le falta para medir 90 : 8.16 Comprueba haciendo uso del transportador, que la recta OP es la bisectriz del ángulo de la figura. Cuánto mide el ángulo? Y cada uno de los ángulos formados por la bisectriz? El ángulo mide aproximadamente 51. Cada uno de los ángulos formados por la visectriz miden 21 aproximadamente Calcula la suma de todos los ángulos, la amplitud de uno de sus ángulos y la amplitud del ángulo central de un decágono regular. Un decágono regular tiene 10 lados iguales. Por tanto cada ángulo central vale: En todo polígono regular, cada ángulo interior mide: En nuestro caso n=10: La suma de todos los ángulos será: = Calcula la medida del ángulo sin valor en las figuras: Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180 : a) b) c) 22

23 8.19 Dibuja las alturas del triángulo y señala cuál es el ortocentro. La altura de un triángulo es la perpendicular trazada desde un vértice hasta el lado opuesto. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro Dibuja las medianas y señala el baricentro del triángulo. Una mediana es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro. Nivel I: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA 8.21 Dibuja un triángulo de lados 8 cm, 10 cm y 6 cm. Traza sus mediatrices, halla su circuncentro y dibuja la circunferencia circunscrita. Una mediatriz es la perpendicular trazada en el punto medio de un lado de un triángulo. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. El triángulo a dibujar es un triángulo rectángulo siendo 10 la medida de la hipotenusa (diámetro de la circunferencia) y 8 y 6 centímetros respectivamente las medidas de los catetos Halla, dibujando sus alturas, el ortocentro de un triángulo acutángulo, de uno obtusángulo y de uno rectángulo. Comprobarás que en el primero está dentro del triángulo, en el segundo, fuera, y en el tercero, en el vértice del ángulo recto. El ortocentro es el punto donde se cortan las tres alturas del triángulo. Si el triángulo es acutángulo el ortocentro está dentro del triángulo: 23

24 Si el triángulo es obtusángulo el ortocentro está fuera del triángulo: Si el triángulo es rectángulo el ortocentro se encuentra en el vértice del ángulo recto: 8.23 Calcula el valor de hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 24 cm. Por el teorema de Pitágoras la hipotesusa es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos: 8.24 Halla la altura de un triángulo equilátero de 12 cm de lado. Para calcular la altura consideramos el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es uno de los lados l del triángulo equilátero y sus catetos son, respectivamente, la mitad de otro de los lados, l/2 y su altura h. Siendo, por tanto la altura uno de los catetos: 24

25 8.25 Las diagonales de un rombo miden 16 cm y 30 cm. Halla la longitud de su lado. l Para calcular la longitud de su lado, consideramos el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es uno de los lados l del rombo y sus catetos son, respectivamente, la mitad de sus diagonales: 8.26 La altura de un trapecio isósceles mide 16 cm y sus bases, 5 dm y 3 dm. Halla la longitud de los dos lados iguales, aproximando hasta los milímetros. 5 dm =50 cm 3 dm= 30 cm Para calcular la longitud de los dos lados iguales, consideramos el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el lado a calcular l, y los catetos son respectivamente, la altura (16 cm) y la mitad de la diferencia entre sus bases: (50-30):2 = 10 cm: 8.27 una circunferencia tiene un radio de 26 cm. Trazamos una recta a 10 centímetros de su centro. Halla la longitud de la cuerda que determina la recta en la circunferencia. Consideramos el triángulo rectángulo formado por la mitad de la cuerda x, la distancia del centro a la cuerda (10 cm) y el radio (26 cm) como se indica en la figura. La mitad de la cuerda se puede calcular por el teorema de Pitágoras: Por tanto, la longitud de la cuerda es de 8.28 Halla el valor de los ángulos centrales de una circunferencia dividida en: a) 3 partes iguales; b) 4 partes iguales; c) 5 partes iguales. Como la medida del ángulo central es igual a la del arco y una circunferencia conmpleta mide 360, el valor de los ángulos pedidos se obtienen dividiendo 360 entre 3, 4 y 5 respectivamente: a) 360 : 3 = 120 b) 360 : 4 = 90 c) 360 : 5 = 72 25

26 8.29 Traza una circunferencia de 5 cm de radio y señala en ella un punto P. A) Cuántas cuerdas puedes trazar que tengan un extremo en P? Cuánto mide la longitud máxima? Infinitas. La cuerda de longitud máxima corresponde al diámetro y mide 10 cm. B) Cuántas cuerdas hay que midan 5 cm y que tengan un extremo en P? Halla la distancia de una de esas cuerdas al centro de la circunferencia. Dos, como se ve en el dibujo: y. Para calcular la distancia d de una de ellas al centro de la circunferencia utilizamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio (5 cm) y cuyos catetos son la mitad de la cuerda (2,5 cm) y la distancia d qu8e queremos calcular: 8.30 En una circunferencia de 15 cm de radio traza una cuerda AB a 12 cm del centro. A) Cuál es la longitud de AB? La longitud de se calcula como en el problema anterior, considerando el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio, uin cateto es la mitad de la cuerda que queremos calcular, y el otro cateto es la distancia de la cuerda al centro: Por tanto, la cuerda mide: B) Cuántas cuerdas de la misma longitud que AB hay en esa circunferencia? Cuántas hay que sean paralelas a AB? Cuántas hay paralelas y de la misma longitud que AB? Se pueden trazar infinitas cuerdas tomando como A uno cualquiera de los infinitos puntos de la circunferencia. Tambien hay infinitas paralelas de cualquier longitud. Sin embargo, paralelas de la misma longitud solo hay una que será simétrica respecto del centro de la cilrcunferencia A) Desde un punto O que dista 29 cm del centro de una circunferencia de radio 20 cm se traza una tangente. Calcula la distancia de P al centro de tangencia. Aplicando el teorema de Pitágoras: B) Trazamos otra tangente desde otro punto Q, y al medir la distancia de Q al 26

27 punto de tangencia obtenemos 30 cm. Cuál es la distancia de Q al centro de la circunferencia? Procedemos de la misma forma que en el apartado anterior solo que ahora el dato desconocido es la distancia de Q al centro, es decir, la hipotenusa: 8.32 Cuánto miden los ángulos, y si es un ángulo recto? Se trata de ángulos inscritos y, por tanto, miden la mitad del arco que abarcan. Tanto como y abarcan el mismo arco que y éste mide 90. Por tanto,, y miden: 8.33 El triángulo ABC es isósceles, AB=AC Cuánto miden los ángulos de ese triángulo? El ángulo es inscrito y, por tanto, mide la mitad del arco que abarca: Teniendo en cuenta que el triángulo es isósceles, los otros dos ángulos y son iguales. Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180 y,. Entonces: 8.34 Halla el área de las figuras coloreadas: El área de un rombo es: La diagonal menor es de 8 cm. La diagonal mayuor la calculamos utilizando el teorema de Pitágoras: Por tanto, El área de un cuadrado es: Pitágoras:. El lado lo calculamos utilizando el teorema de 27

28 El área del trapecio: Pitágoras:. La altura la calculamos utilizando el teorema de El área: Se trata de un trapecio. Su altura se puede obtener mediante el teorema de Pitágoras: Esta figura se puede descomponer en dos triángulos con la base común El área del triángulo superior: El área del triángulo inferior: El área de la figura: Los dos triángulos blancos son iguales. El área de uno de ellos es: El área del cuadrado es: El áre de los dos triángulos será el doble: El área de la figura sombreada en amarillo será la resta: 8.35 Halla el área de un segmento circular de 60º de amplitud en un círculo de 12 cm de radio. El área del segmento circular se obtiene restando el área del sector menos el área del triángulo. El área del sector: 28

29 La altura del triángulo, que es equilátero: El área:. El área del segmento circular es la resta de las dos áreas: 8.36 El área de una corona circular es 20 cm 2, y la circunferencia interna mide 8 cm. Calcula el radio de la circunferencia externa. El área de una corona circular es: Sustituyendo los datos:. Efectuamos las operaciones indicadas: 8.37 Una antena está sujeta por 4 tirantes de cable. El extremo superior de cada tirante se sujeta a la antena a una altura de 40 m. El extremo inferior está amarrado al suelo a una distancia de 30 m de la base. Cuántos metros de cable se han utilizado? La longitud de uno de los cables se puede obtener mediante el teorema de Pitágoras: Como hay 4 tirantes de cable, se han utilizado de cable Halla el área de una fuente hexagonal cuyo lado mide 2 m y su apotema mide 3m. La superficie de un polígono regular es: El perímetro es igual a la longitud de un lado por el número de lados: 2m 3 m El área será: 8.39 Halla el perímetro de los siguientes polígonos regulares: El perímetro de un polígono regular es igual a la longitud de un lado por el número de lados: a) 5 5 = 25 cm; b) 7 3 = 21 cm; c) 4 6 = 24 cm; d) 8 4 = 32 cm 8.40 Halla el área de las siguientes figuras geométricas: La figura está formada por tres rectángulos cuyas superficies son: ; ; 29

30 El área de la figura es la suma de las tres anteriores: b) Esta figura se puede considerar que está formada por un rombo, un paralelogramo, un cuadrado y un rectángulo. Rombo: ; Paralelogramo: ; Cuadrado: ; Rectángulo: c) Esta figura está formada por dos triángulos, dos trapecios y un cuadrado: Triángulo grade: ; Área: ,96 +19,2 = 160,16 cm 2 Triángulo pequeño: ; Cuadrado: ; Trapecio grande: ; Trapecio pequeño: Área: = 120 cm Hala el perímetro y el área de las siguientes figuras: a) Perímetro = 5 8 = 40 cm; Área= b) Perímetro = 12 8 = 96 cm; Área = c) La altura del triángulo isósceles blanco inferior se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras: La altura de la figura es 7 + 7,1 = 14,1 cm. El perímetro es la suma de los lados: ,1 + 14, = 62,2 cm La figura está formada por dos trapecios rectángulos iguales cuya base mayor es 14,1 cm, la base menor es de 7 cm y la altura es de 7 cm. Su área: El área de la figura será el doble: S= 98,4 2 = 196,7 cm 2. 30

31 8.42 Halla el área de las zonas sombreadas: a) El área sombreada es igual al área del cuadrado menos la del círculo: Área del cuadrado: 14 2 = 196 m 2 ; Área del círculo = Área sombreada: ,9 = 42,1 m 2 b) El área sombreada es igual al área del cuadrado menos la de la corona circular: Área del cuadrado: 12 2 = 144 m 2 ; Área de la corona circular = Área sombreada: ,8 = 59,2 m 2 b) El área sombreada es igual al área del círculo menos la del cuadrado: Área del círculo = ; Área del cuadrado: Para calcular el lado utilizamos el teorema de Pitágoras: 2 l 2 =9 l= Por tanto, el área del cuadrado es: (2,1) 2 = 4,5 cm 2 Área sombreada: 28,3 4,5 = 23,8 cm Observa las circunferencias y nombra los diferentes tipos de ángulos que hay en cada caso. a) ángulo exterior; ángulo circunscrito; ángulo interior b) ángulo inscrito; ángulo central; ángulo seminscrito 8.44 Qué longitud de arco le corresponde a un ángulo central de 45º en una circunferencia de 12 cm de diámetro? Realiza el dibujo correspondiente. Como 45 es la cuarta parte de 360, la longitud de arco que le corresponde será la cuarta parte de la longitud de la circunferencia. Longitud de la circunferencia = 2πr = 12π Por tanto, la longitud de arco correspondiente es de 12π : 4 = 3 π = 9,42 cm 31