CUERPOS GEOMÉTRICOS. ÁREAS Y VOLÚMENES

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1 º ESO CUEROS GEOMÉTRICOS. ÁREAS Y OLÚMENES DEARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa CUEROS GEOMÉTRICOS. ÁREAS Y OLÚMENES 1.- CUEROS GEOMÉTRICOS Un cuerpo geométrico es una figura en tres dimensiones, que tiene volumen. Dentro de los cuerpos geométricos distinguimos:.- oliedros: es un cuerpo geométrico limitado por polígonos..- Cuerpos de revolución: es un cuerpo geométrico que se obtiene al girar una figura plana sobre un eje. Tienen caras curvas..- OLIEDROS Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por polígonos, esto es, sus caras son polígonos de cualquier tipo. odemos ablar de poliedros convexos y de poliedros cóncavos, para los primeros se cumple una relación común a todos ellos: NÚMERO DE CARAS + NÚMERO DE ÉRTICES NÚMERO DE ARISTAS =, que se conoce con el nombre de Fórmula de Euler : C + = A + Igual que en los polígonos ablábamos de polígonos regulares como aquellos que tenían todos los lados y los ángulos iguales, en poliedros ablamos de poliedros regulares aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice concurren el mismo número de aristas. Solamente existen cinco poliedros regulares: TETRAEDRO CUBO-HEXAEDRO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO FORMA DE LAS CARAS TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS CUADRADOS TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS ENTÁGONOS REGULARES TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS NÚMERO DE CARAS NÚMERO DE ÉRTICES NÚMERO DE ARISTAS EULER: C + A las pirámides. RISMA RECTO REGULAR Hay poliedros de mucos tipos pero nosotros nos centramos en el estudio de dos tipos que son los prismas y.1 risma Un prisma es un poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas llamadas bases y varias caras laterales que son paralelogramos. Los prismas que nosotros vamos a estudiar son los prismas rectos y abitualmente regulares (sus bases son polígonos regulares). El nombre del prisma depende del polígono que tenga por base, así cuando la base es un triángulo se llamará prisma triangular, cuando la base sea un cuadrilátero se llamará prisma cuadrangular, si además el polígono que forma la base es regular se le añade el calificativo de prisma triangular, cuadrangular, pentagonal, exagonal, regular. CUBO RISMA OBLICUO ORTOEDRO RISMA RECTO NO REGULAR Hay unos prismas especiales, los paralelepípedos, que son aquellos prismas cuyas caras son todas paralelogramos. Los más conocidos y utilizados son el cubo (todas sus caras son cuadrados) y el ortoedro (todas sus caras son rectángulos). El teorema de itágoras llevado al espacio (tres dimensiones) nos permite calcular el valor de la diagonal del ortoedro (cubo cuando las tres dimensiones son iguales) según la siguiente expresión: En este triángulo se cumple : D En este triángulo se cumple : d d a b c D a c b D a c b 1

2 º ESO CUEROS GEOMÉTRICOS. ÁREAS Y OLÚMENES DEARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa En el caso del cubo como a = b = c se cumple: D d d a a a D a a a D a a a D a D a Los elementos más utilizados en los problemas de un prisma son:.- Bases: suelen ser polígonos regulares iguales, pentágono en este caso..- Cara lateral: suelen ser rectángulos..- Arista básica: las aristas o lados de las bases..- Arista lateral: las aristas o lados de las caras laterales, coinciden con la altura del prisma..- Altura : línea que une los dos centros de las bases..- Apotema de la base A p base : cuando la base es un polígono regular, su apotema.. irámide Una pirámide es un poliedro que tiene una cara llamada base y varias caras laterales que son triángulos que concurren (se juntan) en un vértice común (vértice de la pirámide). Las pirámides que nosotros vamos a IRÁMIDE RECTA IRÁMIDE IRÁMIDE RECTA REGULAR OBLICUA NO REGULAR estudiar son las pirámides rectas y abitualmente regulares (su base es un polígono regular, de tal forma que abitualmente las caras serán triángulos isósceles, rara vez son equiláteros como el tetraedro). El nombre del pirámide depende del polígono que tenga por base, así cuando la base es un triángulo se llamará pirámide triangular, cuando la base sea un cuadrilátero se llamará pirámide cuadrangular, si además el polígono que forma la base es regular se le añade el calificativo de pirámide triangular, cuadrangular, regular. Los elementos más utilizados en los problemas de una pirámide son:.- Base: suele ser un polígono regular, exágono en este caso..- Cara lateral: suelen ser triángulos isósceles..- Cúspide: vértice superior donde se unen todas las caras laterales..- Arista básica: las aristas o lados de la base..- Arista lateral: las aristas o lados de las caras laterales, no coinciden con la altura de la pirámide, ni con la altura de una cara o apotema de la pirámide..- Altura de la pirámide : línea perpendicular desde la cúspide asta el centro de la base..- Altura de una cara c o apotema de la pirámide A p pir : línea perpendicular desde la cúspide asta el punto medio de una arista básica. En la pirámide se cumplen una serie de relaciones aplicando el teorema de itágoras que nos permiten calcular los elementos desconocidos de diferentes formas: p + A pb = c p + R = y c + x = y Siendo: R: radio de la base y: arista lateral x: la mitad de la arista básica.- CUEROS DE REOLUCIÓN Un cuerpo de revolución es un cuerpo geométrico que se obtiene al girar una figura plana sobre un eje. Tienen caras curvas. Nosotros estudiaremos tres de ellos, el cilindro, el cono y la esfera.

3 º ESO CUEROS GEOMÉTRICOS. ÁREAS Y OLÚMENES DEARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa.1 Cilindro Un cilindro es un cuerpo de revolución que se origina al girar un rectángulo sobre uno de sus lados (eje de giro), el lado paralelo al eje de giro se llama generatriz por ser la recta que genera la cara lateral del cilindro. Los elementos más utilizados en los problemas de un cilindro son:.- Bases: son dos círculos iguales y paralelos..- Altura : línea perpendicular que une los dos centros de las bases..- Generatriz g : coincide con la altura..- Radio r : es el radio de la base (círculo).. Cono Un cono es un cuerpo de revolución que se origina al girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos (eje de giro), el otro cateto es el radio de giro y la ipotenusa es la generatriz que genera la cara lateral del cono. En un cono se cumple por tanto: + r = g Los elementos más utilizados en los problemas de un cono son:.- Base: solamente tiene una y es un círculo..- Altura : línea perpendicular que une la cúspide con el centro de la base, es un cateto del triángulo rectángulo..- Generatriz g : no coincide con la altura, es la ipotenusa del triángulo rectángulo..- Radio r : es el radio de la base (círculo), es el otro cateto del triángulo rectángulo..- Radio r : es el radio de la base (círculo).. Esfera Una esfera es un cuerpo de revolución que se origina al girar un semicírculo sobre su diámetro, la generatriz que genera la superficie de la esfera es la semicircunferencia asociada al semicírculo. El elemento utilizado en los problemas de esferas es:.- Radio r : es el radio de la esfera. Dentro de la esfera se pueden encontrar distintas figuras:.- Casquete esférico: cada una de las partes de la superficie esférica determinadas por un plano secante. Cuando el plano pasa por el centro de la esfera se denomina emisferio. La parte interior del emisferio se llama semiesfera..- Zona esférica: parte de la superficie esférica comprendida entre dos planos paralelos..- Segmento esférico: parte interior de la esfera comprendida entre dos planos paralelos..- Huso esférico: parte de la superficie esférica comprendida entre dos planos que se cortan en su diámetro..- Cuña esférica: parte interior de la esfera comprendida entre dos planos que se cortan en su diámetro.. La esfera terrestre La Tierra no tiene forma de esfera perfecta, está ligeramente acatada en los polos, pero para estudiarla suponemos que sí es una esfera perfecta. El radio medio de la tierra es de 6.71 km. En la esfera terrestre podemos indicar los siguientes elementos:.- Eje de giro: línea imaginaria que va del polo norte al polo sur, está ligeramente inclinada..- aralelos: circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos perpendiculares al eje de giro. Cuando el corte se produce en el centro el paralelo se llama ecuador, es el tomado como referencia..- Meridianos: Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos que contienen el eje de giro. Se toma el meridiano de Greenwic como referencia. ara situar un punto de la superficie terrestre se utilizan las coordenadas geográficas terrestres:

4 º ESO CUEROS GEOMÉTRICOS. ÁREAS Y OLÚMENES DEARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa.- Longitud de un punto: es la medida angular de 0º a 180º dirección Este y de 0º a 180º dirección Oeste, del arco formado por el meridiano de Greenwic y el meridiano del punto. Todos los puntos de un mismo meridiano tienen la misma longitud. La superficie terrestre se divide en usos orarios (la Tierra tarda oras en girar), así al dividir 60º entre oras, supone que cada 15º cambia la ora solar..- Latitud de un punto: es la medida angular de 0º a 90º dirección Norte y de 0º a 90º dirección Sur, del arco formado por el ecuador y el paralelo del punto. Todos los puntos de un paralelo tienen la misma latitud. EJEMLO_ Dos puntos de la esfera terrestre están situados en el mismo meridiano y sus latitudes son 6º N y 5º S. Calcula la distancia que los separa. El arco que une ambos lugares tiene una medida de: 6º + 5º = 90º y el radio de la Tierra es 6.71 km. Utilizando la fórmula de la longitud de un arco:.- ÁREAS Y OLÚMENES DE CUEROS GEOMÉTRICOS L arco π r nº 60º π º 60º 10.00,7 km. ara cada uno de los cuerpos estudiados, prisma, pirámide, cilindro, cono y esfera vamos a determinar las fórmulas de sus áreas y volúmenes que utilizaremos en los problemas ÁREA BASE _ AB ÁREA LATER _ ÁREA TOT _ AT OLUMEN _ RISMA AB A B p base (1) B prisma AT = AB + = AB prisma B: perímetro de la base Ap base: apotema de la base (recordar solamente tienen apotema los polígonos regulares, un rectángulo no tiene) IRÁMIDE AB A B p base (1) B B A p pirámide cara () AT = AB + AB pirámide prisma: altura del prisma Ap pirámide: apotema de la pirámide, coincide con la altura de la cara cara cara: altura de una cara de la pirámide (suponemos que la base es un polígono regular y todas sus caras son triángulos isósceles iguales) AT = AB + = AB cilindro = AB g = π r () CILINDRO AB = π r AT = π r + π r g = π r g () = π r g () AT = π r (r + g) () = π r () AT = AB + CONO AB = π r = π r g () AT = π r + π r g AT = π r (r + g) AB cono ESFERA = π r π r (1) La fórmula se aplica cuando la base es un polígono regular, triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, exágono regular Cuando la base sea otra figura (triángulo no equilátero o rectángulo, normalmente) debemos aplicar su fórmula particular del área de estas figuras. () En la pirámide la altura de una cara c, también de denomina como apotema de la pirámide A ppir. () En el cilindro la altura y la generatriz g coinciden y pueden aparecer en las fórmulas de manera indiferente. () En el cono la altura y la generatriz g no coinciden y no pueden aparecer en las fórmulas de manera indiferente, debemos respetar esta diferencia. EJEMLO_ Calcula el AT y el de una pirámide cuadrangular regular (la base es un cuadrado) sabiendo que la arista básica mide 16 cm y que la apotema de la pirámide mide 17 cm..- ara calcular el AT, necesitamos el AB y el :.- AB: Como es un cuadrado y nos dan el valor de la arista básica (es el lado del cuadrado que ace de base), tan solo debemos aplicar su fórmula A cuadrado = l = 16 = 56 cm.

5 º ESO CUEROS GEOMÉTRICOS. ÁREAS Y OLÚMENES DEARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa.- : Necesitamos el perímetro de la base, como tenemos el lado será: b = l = 16 = 6 cm. Necesitamos la altura de la cara o apotema de la pirámide, la da el enunciado: c = A pp = 17 cm. Aplicando la fórmula: B.- AT = AB + = = 800 cm. cara cm.- ara calcular el, necesitamos la altura de la pirámide que debemos calcular aplicando itágoras al triángulo: + 8 = = cm Calculada aplicamos la fórmula: AB pirámide cm = 1.80 cm 5.- ÁREAS Y OLÚMENES DE LOS TRONCOS DE IRÁMIDE Y CONO Un tronco de pirámide/cono es el cuerpo geométrico que se obtiene al cortar un pirámide/cono con un plano paralelo a la base, la pirámide/cono pequeña que se elimina se llama pirámide deficiente/cono deficiente. ara calcular el área total y el volumen de los troncos de pirámide y cono se pueden utilizar las siguientes fórmulas: ÁREA BASE _ AB ÁREA LATER _ ÁREA TOT _ AT OLUMEN _ TRONCO DE IRÁMIDE AB Ab A B BASE (1) A b p base (1) (B b ) A T AT = AB + Ab + T AB Ab AB Ab AB: área base mayor del tronco de pirámide B: perímetro base mayor del tronco de pirámide ABASE: apotema base mayor del tronco de pirámide AT: apotema del tronco de pirámide TRONCO AB = π R () = π (R + r) g DE CONO Ab = π r () Ab: área base menor del tronco de pirámide b: perímetro base menor del tronco de pirámide Apbase: apotema base menor del tronco de pirámide T: altura del tronco de pirámide AT = AB + Ab + T TC AB Ab AB Ab (R r R r) AB: área base mayor del tronco de cono Ab: área base menor del tronco de cono R: radio base mayor del tronco de cono r: radio base menor del tronco de cono g: generatriz del tronco de pirámide TC: altura del tronco de cono (1) Como ay dos bases, una es la base de la pirámide original y la otra es la base de la pirámide deficiente, se debe calcular el área de ambos polígonos. Como ya se dijo anteriormente, esta fórmula es para polígonos regulares. () Como ay dos bases, una es la base del cono original y la otra es la base del cono deficiente. EJEMLO_ Calcula el volumen de un tronco de cono cuyo radio mayor mide 10 cm R = 10, el radio menor mide 6 cm r = 6 y la altura del tronco de cono mide 16 cm = 16. AB Ab AB Ab.- 1.ª FORMA _ Aplicando la fórmula de la tabla: T ,0.8,6cm Que aplicando la otra versión de la misma fórmula queda: TC (R r R r) 16,1 ( ) 16,1 ( ) 16, ,0.8,6cm 5

6 º ESO CUEROS GEOMÉTRICOS. ÁREAS Y OLÚMENES DEARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa.-.ª FORMA _ Este problema se suele resolver por diferencia entre volúmenes, el de la pirámide original menos el de la pirámide deficiente de la siguiente forma: TRONCO DE CONO AB H ab - vp R H r 10 H 6 Hasta aquí podemos escribir, nos faltan los datos de la altura de la pirámide original (grande) H y la altura de la pirámide deficiente (pequeña), que los calculamos por semejanza en los siguientes triángulos rectángulos (dependiendo de la información también se puede utilizar itágoras), que son semejantes entre sí por la geometría propia del cono: 16 H H H H cm 0 cm Así que retomando la fórmula: TRONCO DE CONO AB H - vp ab ,0 R H r 10 H ,6cm Esta forma es más utilizada cuando no nos sabemos la fórmula o cuando no nos dejen utilizar la fórmula, que será lo más abitual. 6

7 º ESO CUEROS GEOMÉTRICOS. ÁREAS Y OLÚMENES DEARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa NOTAS_ NÚMEROS REES * SÍMBOLOS: _ Implica o quiere decir o supone que, la relación es cierta de izquierda a dereca. _ Implica o quiere decir o supone que, la relación es cierta de dereca a izquierda. _ Doble implica, la relación es cierta en ambos sentidos. _ Distinto _ Infinito _ Aproximado _ ertenece _ No pertenece / _ Tal que Π _ Tal que _ Existe _ No existe α _ Alfa β _ Beta _ Gamma * 7