1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva:

Transcripción

1 1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: a) x = senθ, y = cosθ, 0 θ π t b), t x = e y = e + 1 c) x = senθ, y = 1+ cosθ. Trace la curva polar: a) r = 3sen ( θ / ) 1 r = b) 1+ cosθ 3. Halle dy dx y d y dx para x = t sent, y = t cos t 4. Calcule la longitud de las curvas: 3 a) x = 3t, y = t, 0 t b) r = 1/ θ, π θ π 5. Para la figura dada, escriba cada combinación de vectores como un solo vector a) AC +CD b) CD AD c) DA + CD + BC 6. Para cada caso escriba un vector v que representa al segmento dirigido AB, dibuje AB y su representación equivalente desde el origen: a) A(,1), B(6,) b) A(-,1), B(-4,) c) A(, -1, 0) B(, -1, 3) 7. Encuentre la suma de los vectores dados y grafique cada caso: a) (1, 4) y (,-1) b) (3, 1) y (-3,) c) (0,0,1) y (1,0,1)

2 8. Cómo hace para calcular el producto punto de vectores si se conocen sus longitudes y el ángulo entre ellos?, cómo lo hace si conoce sus componentes?. De ejemplos de cada caso. 9. Escriba la fórmulas para hallar las proyecciones escalares y vectoriales del vector h sobre el vector c. Ilustre con ejemplos. 10. Cómo hace para calcular el producto cruz de vectores si se conocen sus longitudes y el ángulo entre ellos?, cómo lo hace si conoce sus componentes?. De ejemplos de cada caso. 11. Cómo se encuentra un vector perpendicular a un plano?, ilustre con un ejemplo. 1. Cómo se halla el ángulo entre dos planos que se cortan?, ilustre con un ejemplo. 13. Encuentre una ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por (1,, 3) y es paralela al vector i - 3j + k. 14. Encuentre ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas para: a) La recta que pasa por los puntos (4,-3,3) y (-1,0,5) b) La recta que pasa por el origen y el punto (4,5,3) c) La recta de intersección de los planos x + y + z = 1 y x + z = Encuentre una ecuación vectorial y una escalar para el plano que pasa por el punto (4, -1, -1) y tiene vector normal i - 3j + 4k. 16. Cómo encuentra la distancia de un punto a una recta? De un ejemplo. 17. Cómo encuentra la distancia de un punto a una recta? De un ejemplo. 18. Cómo encuentra la distancia entre dos rectas? 19. Describa y grafique las siguientes superficies: a) x = 3 b) x = z

3 c) y = x + z d) x = y + 4z e) 4 + 4x - y + 4z = 0 f) 5x + 9y + 5z = 5 g) x = z 0. Las coordenadas cilíndricas de un punto son (, pi/6, ). Halle las coordenadas rectangulares y esféricas del punto. 1. Escriba las siguientes ecuaciones en coordenadas cilíndricas y esféricas: a) x + y = 16 b) x + y + z = 16 c) x + y + z = y. Halle el Dominio de la función vectorial r(t) = ( ln t, 5 t, 1/( t 5) ) 3. Halle el siguiente límite: Lím ( t t, t 4, t 4 t) 4. Dibujar la siguiente función en el plano, indique con una flecha la dirección en la que aumenta t: r(t) = (sent, t, cost) para t є (0, 1] 5. Halle la ecuación paramétrica de la recta tangente a la curva con ecuaciones paramétricas dadas por x = t 1, y = t + 1, z = t + 1 en el punto (-1,1,1) 6. Encuentre la longitud de la curva 3 r( t) = (t, cos t, sent), 0 t 1 7. Halle y grafique el dominio de la función: 1 f ( x, y) = x ln( y x)

4 8. Trace la gráfica de la función f(x, y) = 5 - x + y 9. Trace 4 curvas de nivel de la función f ( x, y) = e ( x + y ) 30. A cada una de las 6 siguientes funciones le corresponde una de las gráficas del siguiente punto (Ordenadas de la A a la F), relacionelas, puede utilizar un programa de cómputo como Derive, Matlab, etc: a) b) z = sen x + z = x y e y x y 1 c) z = x + 4y d) z = x 3 3xy e) z = senxseny f) z = sen x + 1 y Relacionar cada gráfica con su mapa de contorno (curvas de nivel) correspondiente:

5 Hallar f xxx para f ( x, y) = x y x y 33. Hallar f xyz para f ( x, y, z) = 3cos(3x + yz) 3 z 34. Hallar y x y para z = xseny 3 z 35. Hallar y x para z = ln sen( x y)

6 y x 36. Demuestre que la función z = xe + ye es solución de la ecuación z z z = x 3 3 x y x y 3 z + y x y 38. Encuentre dz si z = x tan 1 y 39. Hallar los valores máximo, mínimo y puntos de silla de a) z = x 3-6xy + 8y 3 b) z = 4xy x y - xy 3 c) f ( x, y) = e 4 y x y 40. (Multiplicadores de Lagrange) Hallar máximos y mínimos de f sujetos a las restricciones dadas: a) f(x, y) = x y sujeta a x + y = b) f(x, y, z) = x + y + z sujeta a + + = 1 x y z 41. Calcular las siguientes integrales iteradas: π / π / a. 0 0 sen xcos y dy dx sol:1 ln ln 5 b. 0 0 e x y dx dy sol: 6/5 4. Evaluar: D ( x y) da, donde D está delimitada por el círculo con centro en el origen y radio. Sol: Trace la región de integración y cambie el orden de integración: ln x f ( x, y) dy dx sol: 1 0 ln 0 y e f ( x, y) dxdy (falta la gráfica) 44. Utilice coordenadas polares para hallar el volumen de una esfera de radio a

7 Sol: 4 π a Utilice una integral triple para hallar el volumen del sólido limitado por el cilindro x = y, y los planos z = 0 y x + z = 1. Sol: 8/ Utilice coordenadas cilindricas para hallar x y dv, donde E es la región que está dentro del cilindro x + y = 16 y entre los planos z = -5 y z = 4. Sol: 384π E 47. Utilice coordenadas esféricas para hallar el volumen del sólido que está sobre 5 3 el cono φ = π / 3 y debajo de la esfera ρ = ecosφ. Sol: π e Dibuje en un plano cartesiano el campo vectorial F(x,y) = yi j 49. Dibuje en un plano cartesiano el campo vectorial F(x,y) = -xi + yj 50. Encuentre el campo vectorial gradiente de f(x,y) = xy - yx 51. Evalúe la integral de línea C xds, donde C es el arco de parábola y = x de (0,0) a (1, 1) 5. Evalúe la integral de línea xy 3 ds, C: x = 4 sent, y = 4cost, z = 3t, C 0 t π / Sol: Evalúe la integral de línea xy dx + x y) dy (, C está formada por los C segmentos de recta de (0,0) a (, 0) y de (, 0) a (3, ) sol:17/3

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