UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA CENTRO NACIONAL DE ESTUDIOS GENERALES MODALIDAD SABATINA UNIDAD III ESTÁTICA

Transcripción

1 UIVESIDD CIL DE IGEIEI CE CIL DE ESUDIS GEELES MDLIDD SBI ESÁIC DE L PÍCUL UIDD III ESÁIC r..b) El peso del objeto es 5, determine la tensión en las cuerdas. 7 5 La componente e de la fuerza resultante son nulas de acuerdo con el Principio de Inercia. Escribimos por separado cada una de las componentes de la resultante. Por cada uno de los tres segmentos de cuerda tenemos una tensión. Las tres tensiones concurren en el punto ; ahí colocamos el origen del sistema de coordenadas, para hacer el diagrama vectorial y descomponer las fuerzas oblicuas. 7 5 esultante en. F cos7 cos5 Ec. esultante en. F 7 5 sen sen Ec. El valor numérico de la tensión es igual al peso de 5,. Despejando de la Ec. Sustituyendo en la segunda, obtenemos: cos5 cos7 Sustituyendo en la Ec y evaluando tenemos: (cos5 tan 7 sen5 ) cos 5 9,9 tan 7 sen5 cos 5 5, tan 7 sen5 cos5 Sustituyendo 9, 9 en obtenemos, cos7

2 r..c) Calcule las tensiones, y de los sistemas mostrados en la figura si en:, c) = 6,, ß =, y = 4,. β En el punto de unión de las tres cuerdas colocamos el origen del sistema de coordenadas. Descomponemos las fuerzas y planteamos la condición de equilibrio de traslación. β F cos cos Ec.. F sen sen Ec.. La tensión es numéricamente igual al peso suspendido 4, Para resolver el sistema de ecuaciones despejemos la tensión de la resultante en, Ec.. cos cos Sustituyamos en la resultante en, Ec.. cos sen sen cos grupemos ( sen cos tan ) Despejemos y evaluemos, Hemos apuntado que 4, sen cos tan sen6 cos 6 tan 4,6 Sustituyendo 4, 4, 6 en cos cos obtenemos,

3 r. 4 Determine el valor numérico de para que el sistema mostrado en la figura se encuentre en equilibrio estático. btenga además los valores de la tensión en cada cuerda. 6.. B 5. P. 4 En el punto concurren las fuerzas y En B concurren las fuerzas y epresentamos el equilibrio en dos sistemas de referencia, descomponemos las fuerzas y aplicamos la condición de equilibrio de traslación. Punto. La resultante horizontal es nula. F cos6 cos6 La resultante vertical es nula. F sen6 / sen6 57, 74 6 Sustituyendo en la condición de equilibrio para la componente obtenemos: 57,74 cos6 8, 9 Punto B plicando la primera ley de ewton obtenemos: Para la dirección, F cos / cos, Para la dirección, F sen el valor numérico de es: sen 6, 7

4 r. 6 El sistema mostrado en la figura se encuentra en equilibrio estático. Las poleas carecen de masa. Si =, calcule los valores numéricos de y. 5 5 Las tensiones en los segmentos de cuerda que pasan por las poleas son numéricamente iguales a los pesos de los cuerpos suspendidos; esto por el hecho que consideramos despreciable la masa de las cuerdas y despreciable el rozamiento de ellas con las poleas. 5 5 Fijamos el sistema de referencia en el punto de concurrencia de las tensiones. plicamos la condición de equilibrio de traslación: F sen5 sen5 Ec. F cos5 cos5 Ec. Donde y De la Ec 7, 8 sen5 sen5 7, 8 sen5 sen5 Sustituyendo 7, 8 en la Ec. cos5 5 cos5

5 r. 7 El bloque pesa 9,, el coeficiente de fricción estática entre él y la superficie en que descansa es, El peso es 5, y el sistema esta en equilibrio. Calcule la fuerza de fricción ejercida sobre el bloque ; b) determine el peso máximo con el cual el sistema permanecerá en equilibrio. P Con el peso 5, la fuerza de fricción estática sobre el bloque no tiene su valor máximo, así que primero planteamos la condición equilibrio para las fuerzas concurrentes. F cos45 F sen45 45 f S De la resultante vertical nula hallamos,, sen45 Sustituyendo en la resultante horizontal nula, cos 45 5, Del planteamiento de la condición de equilibrio en, para el D.C.L. del bloque, tenemos: F fs y f s 5, En la determinación del peso máximo para el cual aún el sistema permane ce en equilibrio, los diagramas vectoriales son iguales, con difer entes valores en las tensiones y y el peso a buscar, el valor de la fricción estática ahora será el máximo, f CIVIDD IDEPEDIEE: Haga los diagramas vectoriales para la parte b) y demuestre Usted que f S M 7 además que 7 y que el peso máximo es 7 para esto necesita aplicar la Primera y ercera Leyes de ewton SM S

6 r. Que fuerza mínima F hay que aplicar a un cuerpo de masa, kg que se encuentra sobre un plano inclinado = para moverlo uniformemente hacia arriba sobre el plano. ome μ =,. m F El cuerpo de masa, kg se desplaza sobre el plano con rapidez constante, esto es, en equilibrio cinético. La dirección se define paralela al plano. dirección. P. F F sen En. Las componentes de F, paralela y normal al plano son: F F cos En Las componentes paralela y normal al plano inclinado del peso son: F f sen En + cos En. El modelo matemático de la fuerza de rozamiento cinético contiene la reacción normal,, así que evaluamos el principio de inercia para la dirección para obtenerla. F Fsen cos Fsen cos La fuerza de rozamiento cinética o fricción cinética es: f ( Fsen cos ) La resultante en la dirección también es nula. F f F cos sen Sustituyendo f en la condición de equilibrio para, obtenemos: ( Fsen cos ) F cos sen Despejando la fuerza horizontal y evaluando obtenemos:

7 cos sen cos sen F mg, 8 cos sen cos sen r. Cuál es el valor del coeficiente de fricción entre el bloque de 5, kg y la superficie horizontal si el sistema mostrado en la figura debe permanecer en equilibrio estático? m = 5, kg f S P. m = 8, kg Condición de equilibrio para m Para que el sistema permanezca en equilibrio estático, sobre el bloque de peso mg 49, debe actuar una fuerza de rozamiento estático, con magnitud igual al máximo definido por: f SM S Esta debe estar dirigida en dirección opuesta a la tendencia al movimiento. De la resultante nula en la dirección vertical: F 49, plicando la condición de equilibrio en la dirección : F Ec f que puede escribirse: Polea móvil: Podemos considerar la polea móvil y cuerpo sujeto de su eje como una porción del sistema que interactúa con el resto por medio de las dos cuerdas y recibe la atracción de la ierra. sí el diagrama vectorial es: La condición de equilibrio en la dirección vertical es: F 9, Sustituyendo en la Ec tenemos, 8

8 ESÁIC DEL SÓLID ÍGID r.5 Un rótulo pesa puede colgarse de una barra homogénea, de peso, en cualquiera de las posiciones mostradas. () En que posición es mayor tensión en el cable? () para cada caso, halle la tensión en la cuerda y el módulo y dirección de la reacción que ejerce la pared sobre el pivote. En el diagrama del cuerpo libre tenemos dos reacciones que ejerce el pivote sobre la barra. El peso de la barra lo ubicamos en el centro de gravedad.. (a) Condición de equilibrio traslacional: F cos () a F sen () a B La condición de equilibrio de rotación: Sumando los momentos de torsión respecto al punto, los momentos de las reacciones y son nulos, los momentos del peso del rótulo y del peso de la barra son negativos y el momento de la tensión es positivo. c.g. a, B B a sen () ( ) Esta ecuación nos proporciona la tensión a a B a sen B Sustituyendo a en la ecuación obtenemos a cos 59, 8 Sustituyendo a en la ecuación obtenemos asen 5, El módulo de la reacción en el pivote es: La dirección de la reacción es: tan

9 . En el diagrama del cuerpo libre tenemos dos reacciones que ejerce el pivote sobre la barra. El centro de gravedad de la barra homogénea está en su centro geométrico. (b) Condición de equilibrio traslacional: F cos () b F sen () b B La condición de equilibrio de rotación: Sumando los momentos de torsión respecto al punto, los momentos de las reacciones y son nulos, los momentos del peso del rótulo y del peso de la barra son negativos y el momento de la tensión es positivo. ( ) B b sen () Esta ecuación nos proporciona la tensión b b, c.g. B B b B b 8 sen Sustituyendo b en la ecuación obtenemos b cos 69, 8 Sustituyendo b en la ecuación obtenemos b sen a diferencia de lo supuesto la componente de esta dirigida hacia abajo. El módulo de la reacción en el pivote es: 7 La dirección de la reacción es: tan 8,

10 r.4 Una persona que pesa 888 está de pie a,5 m de uno de los extremos de un andamio de 6, m de longitud. El andamio es homogéneo y pesa 67. Halle el valor numérico de las fuerzas que sostienen al andamio, si éste se encuentra en equilibrio estático. El andamio se encuentra sostenido por dos cuerdas verticales que nombramos y El centro de gravedad del andamio homogéneo se encuentra en su centro geométrico. c.g. B P,5 m, m Condición de equilibrio traslacional: F () P La condición de equilibrio de rotación: especto al punto, el momento de es cero.,5m) (,m) (6,m) () ( ) P( De aquí obtenemos P (,5m) (,m) 557 (6,m) Sustituyendo el valor de 557 en la ecuación () obtenemos el valor de P, k, 56 k

11 r.9 Un tablón uniforme de,5 m de longitud y, de peso, está fija a un soporte en uno de sus extremos. El tablón se logra equilibrar horizontalmente por medio de un cuerpo y una polea, tal como se muestra en la figura. Determine el peso necesario para balancear el tablón. Considere la masa y la fricción de la polea despreciables.. En el diagrama del cuerpo libre ubicamos el peso del tablón en el centro de gravedad. Debido a que la tensión en la cuerda oblicua tiene componentes e aparece no sólo la reacción vertical en el 45. extremo B sino también una reacción horizontal. P. 9 l ser despreciables la masa de la polea y la fricción con la cuerda el peso del cuerpo es numéricamente igual a la tensión Condición de equilibrio traslacional: F cos45 () F sen () 45 La condición de equilibrio de rotación: Calculamos el torque resultante respecto al punto B. Los torques de las reacciones y son nulos porque las líneas de acción de estas fuerzas pasan por B.,75 m 45, c.g. B ( B) (,5m) sen45 (,75m) () De aquí obtenemos (,75m), (,5m) sen45

12 r. Un tablón uniforme de, de peso está suspendido por dos cuerdas. un cuarto de su longitud, medido desde su extremo izquierdo, se suspende un objeto de 4,. Determine las tensiones de las cuerdas y el ángulo que forma la cuerda izquierda con la vertical. Condición de equilibrio traslacional:. F sen sen () F cos cos () P. punto, donde tenemos dos incógnitas. La condición de equilibrio de rotación: Calculamos el torque resultante respecto al ( ) cos () 4 De aquí obtenemos 84, 75 4cos 4 B c.g. C De la ecuación () sen sen De la ecuación () cos cos Eliminando sen cos sen cos tan sen cos tan sen cos 4,9 De la ecuación () podemos calcular sen 7, 7 sen