UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

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1 TIEMPO: INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN 120 minutos. INSTRUCCIONES: La prueba consiste en la realización de cinco ejercicios, a elegir entre dos opciones, denominadas A y B. El alumno realizará una opción completa, sin mezclar ejercicios de una y otra. Las soluciones y explicaciones razonadas (justificaciones de las construcciones) deben realizarse en los espacios asignados después de las preguntas impresas. La resolución de los ejercicios se puede delinear a lápiz y se dejarán las líneas de todas las construcciones auxiliares. PUNTUACIÓN: En general, se calificará con 10 puntos cada ejercicio, de los cuales 7 corresponden a la correcta interpretación y solución de la cuestión propuesta y 3 al correcto acabado y a la explicación razonada de la solución dada. La calificación final será la media aritmética. OPCIÓN A A1.- Dibujar un triángulo ABC del que se conoce un lado a, su mediana, m a y su ángulo A. EXPLICACIÓN RAZONADA. A2.- Determinar con exactitud los puntos de intersección de la elipse de ejes AB y CD con la recta r dada, sin dibujar la cónica. EXPLICACIÓN RAZONADA.

2 A3.- Los puntos A y B son vértices de un tetraedro en el que O es el baricentro de la cara BCD. Los vértices C y D pertenecen al plano α. Dibujar las proyecciones diédricas del tetraedro. EXPLICACIÓN RAZONADA. A4.- Determinar la sección producida en el prisma por el plano definido por los puntos A, B y C. EXPLICACIÓN RAZONADA.

3 A5.- Representar en diédrico y acotar la pieza adjunta, dando las vistas, cortes y/o secciones que se consideren necesarias. Todos los agujeros son pasantes. EXPLICACIONES RAZONADAS: OPCIÓN B

4 B1.- Determinar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia c. EXPLICACIÓN RAZONADA. B2.- Hallar un cuadrado ABCD del que además de su vértice A se sabe que dos de sus vértices están sobre las rectas r y s. EXPLICACIÓN RAZONADA. B3.- Determinar las proyecciones diédricas de un hexágono regular de lado AB situado en el plano definido por los puntos A, B y P. EXPLICACIÓN RAZONADA.

5 B4.- Desarrollar la superficie poliédrica de la figura, dada por sus proyecciones, excluyendo su cara superior. EXPLICACIÓN RAZONADA. B5.- Representar la planta de la pieza en la posición que se considere más apropiada.

6 EXPLICACIONES RAZONADAS:

7 CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN OPCIÓN A S-A1.- Resolución Situado el lado BC de longitud a, los otros dos datos conducen a sendos lugares geométricos circulares para el punto A. Por un lado A deberá estar en la circunferencia con centro en el punto medio de BC y radio m a, y por otro en el arco capaz de valor  sobre el segmento BC. Hay dos soluciones simétricas igualmente válidas. Comprensión del problema propuesto: 1,0 Trazado de la circunferencia de radio m a : 2,0 Trazado del arco capaz  sobre BC: 2,0 Identifiación de A y trazado de la solución: 2,0 Explicación razonada del fundamento geométrico: 3,0 S-A2.- Resolución Los puntos de la elipse pueden considerarse centros de circunferencias que siendo tangentes a una circunferencia focal pasan por el otro foco. Los puntos buscados estarán, además, en la recta dada, lo que equivale a que las circunferencias referidas pasen también por los simétricos de los focos respecto a la recta. Visto así, el problema es equivalente al denominado "problema fundamental de tangencias", esto es, a determinar los centros de las circunferencias que pasando por F 1 y su simétrico S 1 respecto a la recta son tangentes a la circunferencia focal de centro en F 2. Comprensión del problema propuesto: 1,0 Trazado de los simétricos de los focos: 2,0 Interpretación y trazado de los simétricos de los focos: 3,0 Determinación de los puntos de intersección: 2,0 Explicación razonada del fundamento geométrico: 3,0 S-A3.- Resolución Siendo la arista AB una recta de punta, las caras que la contienen serán proyectantes verticales, y la arista CD, ortogonal a AB, será frontal, situándose en α por exigencia del enunciado. La particular posición de O 2, O vertical, indica que el plano ABO es de perfil y, siendo plano de simetría, lleva consigo que CD sea horizontal (además de frontal) lo que facilita la determinación de C y D. CD = AB = d = 3/2 A 2 O 2, con d = distancia entre aristas

8 Comprensión del problema propuesto: 1,0 Determinación de C 2 D 2 : 2,0 Determinación de A 1, B 1, C 1, D 1 : 2,0 Representacion del tetraedro con su visibilidad: 2,0 Explicación razonada del fundamento geométrico: 3,0 S-A4.- Resolución La sección producida será forzosamente un paralelogramo, por serlo la base del prisma, y su obtención se simplifica aprovechando la circunstancia de que todos los planos implicados son proyectantes sobre uno u otro plano de proyección. Calificación orientativa. Determinacion correcta de la sección : 5,0 Interpretación de la Visibilidad: 2,0 Explicación razonada de las construcciones empleadas: 3,0 S-A5.- Resolución Dos vistas, alzado y planta, son suficientes para la representación completa de la pieza, no siendo necesaria ninguna sección, aunque puede darse un corte parcial que ayude a ver los agujeros. Debe cuidarse en ellos la disposición de los ejes. La acotación no ofrece particularidades significativas. Interpretación y representación adecuadas, incluyendo la correcta disposición de los ejes: 5,0 Acotación con definición dimensional completa (9 cotas) : 5,0

9 OPCIÓN B S-B1.- Resolución Una dilatación de cada circunferencia, de magnitud igual al radio de la circunferencia dada, permite observar que sus centros han de ser equidistantes del centro de la circunferencia dada y de una recta paralela a la dada, a distancia igual a la dilatación. El lugar geométrico es, por consiguiente, una parábola de foco en dicho centro y directriz la recta desplazada. Otra parábola similar corresponde a las dilataciones contrarias, que tienen sentido cuando se trata de tangentes "interiores". Cualquiera de las dos soluciones se considerará correcta. Comprensión del problema propuesto: 2,0 Dilataciones y determinación de algún punto del lugar: 3,0 Mención explícita de sus características fundamentales: 2,0 Explicacion razonada del fundamento geométrico: 3,0 Total: 1O,O S-B2.- Resolución Imaginada la solución en una figura de análisis, puede observarse que un giro de 90 de centro en A haría coincidir el vértice del cuadrado situado en la recta s con el situado en la recta r, ambos en principio desconocidos. Si en su defecto giramos toda la recta s, el punto que tiene esa propiedad quedará de manifiesto como intersección de la recta girarda s' con la r, pudiéndose así trazar el cuadrado. Un giro de 45 seguido de una homotecia de razón proporcionará también nuevas soluciones igualmente válidas. Son, asimismo, factibles consideraciones puramente métricas para la resolución de este ejercicio. Comprensión del problema propuesto: 1,0 Determinación de uno de los movimientos válidos: 4,0 Trazado de las soluciones: 2,0 Explicación razonada del fundamento geométrico: 3,0 S-B3.- Resolución Al proyectar en dirección AB, que es horizontal, el plano ABP pasará a ser proyectante, lo que puede facilitar la localización de la proyección horizontal, para luego hallar la vertical. Conviene empezar calculando la distancia entre los lados opuestos del hexágono a partir de su lado, d = AB. (para el método propuesto) Comprensión del problema propuesto: 1,0 Cálculo de d: 1,0

10 Determinación de la proyección horizontal: 3,0 Determinacion de la proyección vertical: 2,0 Explicación razonada del fundamento geométrico:... 3,0 S-B4.- Resolución Obtener el desarrollo requiere hallar primero las verdaderas magnitudes de todas las caras. Conviene, como paso previo, "completar" las caras cuadrangulares laterales prolongando sus lados hasta convertirlas en triangulares, obteniendo así como referencia una superficie poliédrica de desarrollo mas fácil. En términos generales, para el desarrollo de una cara cuadrangular son precisas cinco dimensiones, ya sean longitudes de sus lados o medidas de sus ángulos. Si se prefieren sólo longitudes, puede recurrirse a calcular las diagonales de las caras, lo que equivale a "triangular" la superficie. Interpretacion correcta del cuerpo representado: 1,0 Determinación correcta de las verdaderas magnitudes de las caras: 3,0 Determinación correcta del desarrollo: 3,0 Explicación razonada del fundamento geométrico: 3,0 S-B5.- Resolución Tratándose de una pieza alargada parece razonable considerar como alzado la vista situada a la izquierda en la representación facilitada, pero puede considerarse igualmente válida la derecha. La valoración atenderá principalmente a la correcta disposición de las líneas vistas y/u ocultas con sus adecuadas dimensiones, así como a la correcta expresión de los ejes que se requieren. Interpretacion y representación adecuadas de líneas vistas y ocultas: 5,0 Corrección dimensional de los distintos detalles: 3,0 Expresión adecuada de ejes longitudinal y transversal: 2,0