EXAMEN DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA 02/09/2008

Transcripción

1 EXAMEN DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA 2/9/28 EJERCICIO I (25%) Se dispone de un ventilador de cuatro velocidades. Dichas velocidades son accionadas respectivamente por la señales V, V2, V, V4. La velocidad asociada a V es la más lenta, mientras que la asociada a V4 es la rápida. Si ninguna de estas cuatro señales está activada, el ventilador estará parado. El ventilador tiene dos pulsadores p y. Cada vez que se pulsa p, la velocidad del ventilador se reducirá a la inmediatamente inferior. Si el ventilador tiene la velocidad asociada a V, si se pulsa p, el ventilador se detendrá. Por el contrario, cada vez que se pulse, la velocidad del ventilador se incrementará a la inmediatamente superior. En el caso concreto de que la velocidad del ventilador sea la asociada a V4, si se pulsa, la velocidad del ventilador no cambiará. Con el fin de prolongar la vida del motor del ventilador, una vez pulsado p ó, se va a hacer caso omiso a cualquier pulsación que se hiciese de p ó hasta que no pase segundo. Con tal de ser amigables con el medio ambiente, si el ventilador está funcionando a una determinada velocidad y no se ha pulsado p ni durante 2 minutos, el ventilador pasará a la velocidad inmediatamente inferior. En el caso particular que el ventilador estuviese funcionando a la velocidad asociada a V, el ventilador se detendrá. Solucion: V 6 2 V %TM2.Q +p V2 4 V2 p+%tm2.q 5 (* Continua en la siguiente página y etapa 5*)

2 4 (* Continua de la etapa 4 *) 5 V 6 V p+%tm2.q 7 V4 8 V4 p+%tm2.q Los temporizadores a utilizar se configuran de este modo %X+%X+%X5+%X7 %TM Q ( p ) (%X2+%X4+%X6+%X8) %TM2 Q seg 2 min EJERCICIO II (25%) Dados los siguientes modelos correspondientes a distintos sistemas (T. seg): a. Cuáles de ellos son estables en bucle abierto? Por qué? b. Para los estables, qué podrías decir de su comportamiento en el transitorio? (Calcula los valores que consideres oportunos) Para el caso del modelo G, sería su respuesta estable, en el caso de que ésta se realimentase y se comparara con una referencia tipo escalón? Solución. a. Obtenemos los polos de cada modelo, con lo que las expresiones anteriores quedarán como: G 2 y G son estables porque el módulo de todos sus polos es <, mientras que G no lo es porque no lo cumple. b. G 2 es subamortiguado porque su polo dominante cumple <.9<, mientras que G es sobreamortiguado porque su polo dominante cumple <.9< Para el caso de G 2 :

3 T z e τ..9 e τ τ.95seg. t e ( e < 2%) 4τ + DT seg ω pt π ω.46rad seg p / Para el de G el t e y la τ son iguales y, por ser sobreamortiguado no tiene ω p c. En este caso, la ecuación característica del sistema en bucle cerrado será: Por lo que, el valor del módulo será: que como es menor que, supondrá que tengamos una respuesta estable. Además, como los polos son complejos conjugados, la respuesta será subamortiguada. EJERCICIO III (25%) Disponemos de un filtro continuo cuyo diagrama de Bode se presenta a continuación: Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) a) (5%) Qué tipo de filtro es? Para este ejemplo, qué componentes frecuenciales puede filtrar? b) (%) Elige el mayor periodo de muestreo que permita discretizar sin problemas este filtro continuo y obtén la expresión discreta del mismo siguiendo el método de emparejamiento de polos y ceros modificado. c) (%) Obtén el módulo del filtro discreto en la frecuencia de corte y comenta el resultado por comparación con el continuo. a) Se trata de un filtro paso-bajo, el cual puede filtrar señales de alta frecuencia. Concretamente las componentes frecuenciales mayores a w c rad/seg se atenúan cada vez más conformen éstas son mayores a w c.

4 b) Para no tener ningún problema de solapamiento de espectros, etc, se ha de cumplir el teorema de Shanon- Nyquist que exige que w s >2w c. Por tanto, w s >2rad/seg. Pasándolo a tiempos: w s 2*pi/T>2rad/seg. De ahí, 2*pi/2>T, entonces T<.46seg Cojamos el valor límite en.45seg, entonces el filtro discreto queda: G ( z) z.42 c) G( z) jw z e c T.92 z.42 cos( wct ) + jsen( wct ).42 + j.42 2 log(.92).75db que comparado con los -db del caso continuo muestra que el T escogido no es demasiado bueno, ya que es el valor límite que cumple el teorema del muestreo. Con un T menor los casos continuo y discreto alcanzarían valores más parecidos, es decir, el discreto podría filtrar en la misma cantidad que el continuo la componente frecuencial a w c (ahora la filtra 2.25dB menos). EJERCICIO IV (25%) Sea el sistema en bucle abierto que se muestra a continuación, identificado mediante el método de mínimos cuadrados tomado datos cada T. segundos: G P ( z) z 2 z +.6 ( z.2) ( z.8) Con objeto de aplicar un control, se establece el esquema en bucle cerrado siguiente que incorpora un ulador y un lazo negativo de realimentación: r + - e G R (z) u G P (z) y Para facilitar el diseño del controlador, se han probado uladores tipo (P, PI, PD) con ganancias variables obteniéndose para cada uno de ellos el lugar de raíces que se muestra a continuación: LUGAR DE RAICES CON REGULADOR P Y PI: Con uladores respectivamente:

5 G P ( z) K G ( z) PI K z.8 z LUGAR DE RAICES CON REGULADOR PD: Y ulador: G PD ( z) K z.2 z Tras lo cual se solicita:. Rango de valores de K para los cuales se producen distintos comportamientos en régimen transitorio (comportamiento dinámico) y estabilidad. Cuantificar el régimen transitorio en términos de constante de tiempo y frecuencia de oscilación. 2. Errores esperados (e p, e v, e a ) con cada uno de los uladores indicando sus valores límites.. Regulador que debería utilizarse, de los anteriores, para obtener un comportamiento con e p menor de un 6% (ganancia mayor de.4) y tiempo de estabilización menor de.2 segundos incluyendo retardos del sistema.