Departamento de Matemáticas

Transcripción

1 MA5 Clase 5: Series de potecias. Operacioes co series de potecias. Series de potecias Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález Cuado estudiamos las series geométricas, demostramos la siguiete fórmula: si r <, etoces ar = a r. Esto os dice que la fució f(x = a x, puede ser represetada como ax = a+ax+ax +, al meos e el itervalo (, = {x R: x < }. Es atural pregutaros si podemos expresar de forma parecida a otras fucioes como se x, cos x, e x, l x, etc, de modo que podamos aproximar mediate poliomios a dichas fucioes (observemos, por ejemplo, que es más secillo calcular la image de mediate u poliomio co coeficietes racioales que calcular se. Defiicio Sea (a ua sucesió de úmeros reales cualquiera. Ua serie de potecias es ua serie de la forma a x = a 0 + a x + a x + + a x +, dode x es ua variable. Más geeralmete, ua serie de la forma a (x c = a 0 + a (x c + a (x c + + a (x c +, es llamada ua serie de potecias cetrada e c. Por ejemplo, x (x (x +, y so series de potecias cetradas e 0, y!, respectivamete. Ua serie de potecias e x puede ser vista como ua fució e x: f(x = a (x c, cuyo domiio es el cojuto de todos los valores que puede tomar x para los cuales la serie coverge. E particular, el domiio siempre cotiee al puto x = c, e el cual vale f(c = a 0.

2 Ejemplo Cosideremos la serie de potecias f(x = +. Usado el criterio del cociete y el hecho que ( + R + + ( + ( + x = x, ( + + teemos que la serie coverge si R = x < y diverge si x >. Para determiar que ocurre e x =, observemos que lim + + x = 0, de modo que diverge e ambos casos. E suma, el domiio de la fució f(x = (0, = {x: x < }. + es Teorema (Covergecia de series de potecias Para ua serie de potecias cetrada e c, ocurre algua de las tres siguietes posibilidades: a La serie coverge sólo e c. b Existe uúmero R > 0 tal que la serie coverge absolutamete si x c < R y diverge si x c > R. c La serie coverge para todo x R. Demostració: Sea a (x c ua serie cetrada e c. Demostraremos sólo el caso particular a + e el cual el límite L existe, el cual es suficiete para los ejemplos y problemas que veremos e el curso. Teemos, e virtud del criterio del cociete, que la serie coverge e x siempre que 0 < L < > lim a + (x c + a + a (x c = x c lim. Por lo tato, la serie coverge para todo x tal que x c < y diverge para todo x tal que L x c > L. Podemos cosiderar R = (caso b. Observemos que si L = 0 etoces siempre se L cumple que > x 0 = 0, co lo cual la serie coverge para todo x R (caso c. Fialmete, si L =, como debe cumplirse que > x, la serie diverge para todo x 0 (caso a; recordemos que siempre coverge e 0. Defiicio Dada ua serie de potecias cetrada e c, defiimos el radio de covergecia R como a 0 si la serie coverge sólo e c.

3 b 0 < R < si la serie coverge absolutamete para x c < R y diverge para x c > R. c, si la serie coverge para todo x R. Hemos visto que si lim a + Ejemplo Cosideremos la serie de potecias f(x =!. Etoces, el radio de covergecia está dado por: tiede a algú valor de [0, o a, etoces es igual a R. ( R! ( + + = + e. ( +! Por lo tato, la serie coverge si x < e y diverge si x > e. Defiicio 3 Dada ua serie de potecias f(x = a (x c, el cojuto de covergecia de f es el itervalo e el cual la serie coverge. Dicho itervalo puede ser de las siguietes formas: R = (,, (c R, c + R, [c R, c + R, (c R, c + R], [c R, c + R] y, fialmete, {c} = [c, c]. Ejemplo 3 Dada la serie de potecias (x 5, determie su cojuto de covergecia. 3 Solució: El radio de covergecia está dado por R a + 3 ( = 3. 3 ( Por lo tato, el cojuto de covergecia está dado por el itervalo (c R, c + R = (, 8 uido ( posiblemete co uo o ambos extremos. Es fácil ver que la serie e x = es igual a y, por lo tato, coverge, mietras que la serie e x = 8 es igual a y, por lo tato, diverge. Así, el cojuto de covergecia es [, 8. Propiedades de las series de potecias A cotiuació, euciamos si demostració u teorema que muestra el comportamieto de las series de potecias bajo la derivada y la itegral. 3

4 Teorema Sea f(x la fució defiida por ua serie de potecias a (x c, co radio de covergecia R. Etoces, e el itervalo (c R, c + R, la fució f es cotiua, derivable e itegrable. Además, se cumple las siguietes fórmulas: f (x = a + a (x c + + a (x c + (x c (x c + f(xdx = c + a 0 (x c + a + + a + + E cada caso, el radio de covergecia de la serie obteida es igual a R. Ejemplo 4 Ecuetre ua serie de potecias la cual represete a la fució f(x = el itervalo (,. ( + x, e Solució: Observemos que la fució g(x = x +, satisface, por ua parte, que g (x = f(x y, por otra parte, x + = ( x = ( x = ( x. Así, derivado térmio a térmio la serie del último miembro, obteemos que (x + = g (x = ( x, de lo cual se deduce que (x + = ( x = x + 3x + ( x +. Ejemplo 5 Ecuetre ua serie de potecias la cual represete a la fució h(x = l( + x, e el itervalo (,. Solució: Observemos que la fució g(x = x +, satisface, por ua parte, que h (x = g(x y, por otra parte, x + = ( x = ( x = ( x. Así, itegrado térmio a térmio la serie del último miembro, obteemos que l(x + = c + ( + +, para algú c R, el cual se puede calcular evaluado e x = 0, lo cual os da c = 0. Por lo tato, l(x + = ( + + = ( = x x + (

5 Proposicio Dadas f(x = a f(kx = b f(x m = a k x ; a x m ; c f(x ± g(x = (a ± b x ; ( ( d f(xg(x = c x b m x m = m=0 a x, g(x = b x, so validas las siguietes propiedades: c k x k, dode c k = k=0 +m=k a b m = Para las operacioes ates descrita, el cojuto de covergecia puede cambiar. k a b k. Ejemplo 6 Ecuetre ua serie de potecias la cual represete a la fució f(x = l e el itervalo (,. ( + x Solució: Teemos que f(x = l = l( + x l( x, pero x co lo cual obteemos que l( + x = x x + ( 3 +, y l( x = x x x3 3, ( + x, x f(x = l( + x l( x = (x x + ( 3 + ( x x x3 3 = (x x + ( (x + x = x + x3 3 + x x ( + x Es decir, l = (x + x3 x x+ + + x + =. Dejamos como ejercicio el + cálculo del radio y cojuto de covergecia de esta última serie. 5