Fundación Uno. 2. En la figura, BD es una altura del triángulo ABC. Cuál es el valor de b a?

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1 ENCUENTRO # 51 TEMA: Semejanza de triángulo. CONTENIDOS: 1. Razones y proporciones(teorema de Tales). 2. Criterios de Semejanza. 3. Ejercicios de aplicación. Ejercicio Reto 1. Examen de la UNI 2014 En la figura siguiente ABC es un triángulo equilátero y CDEF un cuadrado. Si CE es diagonal del cuadrado y bisectriz del ángulo C del triángulo. Cuál es la medida del ángulo x? A)105 0 B)95 0 C)90 0 D)85 0 E) En la figura, BD es una altura del triángulo ABC. Cuál es el valor de b a? A)2 B)2 2 C)4 D)8 E)6 2 Razones y proporciones Definición 1. Una RAZÓN, es la relación que se establece entre dos cantidades de la misma naturaleza, al compararlas considerando que múltiplo o partes es una cantidad sobre otra. Portal 1 sv.portaldematematica.com

2 Notación: x : y (se lee "x" es a "y") A las cantidades x y y se les llama términos de las razón. Al primer términos se le llama antecedente y al segundo consecuente. Para hallar la razón entre dos cantidades, simplemente dividimos antecedente entre el consecuente, por tal motivo la razón x : y también se representa como una fracción x : y x y Definición 2. Una PROPORCIÓN es una igualdad entre dos o más razones. a b = c d = e f = = k. Decimos que {a, c, e, } y {b, d, f, } son conjuntos proporcionales y que el valor k es la razón de proporcionalidad. A las cantidades a y d se les llama extremos a las cantidades b y c se les llama medios. Cuando tres cantidades estan relacionadas por la proporción a x = x decimos qur x es b la media proprocional entre a y b y b es la tercera proporcional a a y x. Si a, b, c son números positvos y a b = c se dice que x es la cuarta proporcional. x Porpiedades de las proporciones A partir de a b = c se obtiene los siguientes: d 1. a d = b d a 2. c = b d b a = d c d b = c a a + b b a b b a b + a = = c + d d = c d d c d + c En general si a p = b q = c r = a + b + c + p + q + r + = k a b a = c d c a + b a b = c + d c d a b = c d = a + c b + d Ejemplo 1.1. Encuentre la media proporcional entre 5 y 45. De acuerdo a la definición, se pide el valor de x, tal que 5 x = x 45, luego x2 = (5)(45) = 225. x = 225 = 15 Portal 2 sv.portaldematematica.com

3 Ejemplo 1.2. Encuentra la tercera proporcional entre 4 y 16. De acuerdo con la definición, se pide le valor de x, tal que 4 16 = 16 x x = = 64 Ejemplo 1.3. Encuetra la cuarta proporcional de los números 4,12 y 15. De acuerdo con la definición, se pide el valor de x, tal que 4 12 = 15 x x = = 45 Ejemplo 1.4. Si un triángulo tiene un perímetro de 84cm y sus lados son proporcionales a los números 5,7 y 9, encuentre las longitudes de dichos lados de dichos lados. Sean a, b, c las longitudes de los lados del triángulo, luego: a = b = c Por las propiedades de las proporciones se tiene a = b = c = a+b+c Pero el perímetro de P = a + b + c = 84, luego a = b = c = 84 = Por tanto a = (5)(4) = 20cm, b = (7)(4) = 28cm; c = (9)(4) = 36cm Razones entre dos segmentos La razón entre dos segmentos se define como la razón entre sus longitudes. Así por ejemplo si m(ab) = 4 y m(dc) = 2, decimos que AB y CD están en una razón 2 : 1 lo que significa que la longitud de AB es el doble que la longitud de CD. Teorema sobre proporcionalidad y semejanza de triángulos Teorema 1. Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo, entonces los otros dos lados quedan divididos en segmentos proporcionales. Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo, entonces los otros dos lados quedan divididos en segmentos proporcionales. DE BC x y = u v Teorema 2. Si una recta divide dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales entonces es paralela al tercer lado. Portal 3 sv.portaldematematica.com

4 x y = u v DE BC Teorema 3 (Teorema de Thales). Dos transversales cualesquiera cortadas por tres o más paralelas quedan divididas en segmentos proporcionales. AB = BC = AC A B B C A C Teorema 4 (TEOREMA DE LA BASE MEDIA). En el triángulo ABC, sean M y N los puntos medios de los lados AB y AC respectivamente, entonces MN BC y MN = 1 2 BC. Teoremas de semejanza de triángulos Teorema 5. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos de uno de ellos son congruentes a sus correspondientes en el otro. B = E C = F ABC CEF Teorema 6. Dos triángulos son semejantes si un ángulo de uno de ellos es congruente a un ángulo del otro y si los lados que comprenden al primero son proporcionales a los lados correspondientes del segundo. Portal 4 sv.portaldematematica.com

5 B = E a c = d f ABC CEF Teorema 7. Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales. AB DE = AC DF = BC EF ABC CEF TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁN- GULOS Teorema 8. Dos triángulos rectángulos son semejantes si un ángulo agudo de uno de ellos es congruente a un ángulo agudo del otro. Teorema 9. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos proporcionales. m C = m F = 90 0 A = D ABC DEF Portal 5 sv.portaldematematica.com

6 Teorema 10. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales uno de los catetos y la hipotenusa. m C = m F = 90 0 ( a = d a = c ) ABC DEF b e d f Teorema 11. En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa divide al triángulo en otros dos semejantes a éste y semejantes entre si. ABC ACD CBD Teorema 12. Dado un triángulo rectángulo y la altura correspondiente a la hipotenusa. i) la altura es media geométrica de los segmentos en los cuales dicha altura divide a la hipotenusa. AD cd? CD DB o n h = h m h = m n ii) cada cateto es la media geométrica de la hipotenusa y el segmento de ésta adyacente al cateto. b = n c AD? AC o n = b AC AB b c DB? CB o m CB AB a = a c b = n c Portal 6 sv.portaldematematica.com

7 Teorema 13. TEOREMA DE PITÁGORAS En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Si a y b representan las longitudes de los catetos y c la longitud de la hipotenusa, se tiene: a 2 + b 2 = c 2 Ejemplo 1.1. En la figura F G BA. Si AG = 3,BF = 5 y CF = 1. Ecuentre C Por el teorema 1, tenemos que CG GA = CF F B, GA CF luego CG = F B Nota: GA = AG y F B = BF Por tanto al sustituir los respectivos valores, resulta CG = (3)(12) = Ejemplo 1.2. En la figura, con las dimensiones indicadas, se tiene BG CF DE. Si x + y + z = 27, encuentre los valores correspondientes de x, y, z, u, v. Por el Teorema fundamental de semejanza, el Teorema de Thales, se tiene x 8 = y 4 = z 6 Por las propiedades de las proporciones: x = x = y = z = x+y+z = 27 = = 12, y = = 6, z = = 9 Ejemplo 1.3. Se tiene también ABG ACF ADE, por el Teorema de semejanza AA Dado que BG CF DE,las parejas de ángulos correspondientes que se forman son congruentes: Se puede establecer la relación: v = u = 36 = v = 8 2 = 16, u = 12 2 = 24 Portal 7 sv.portaldematematica.com

8 Ejemplo 1.4. En la figura, AD BC, AC = 25, AF = 15, AD = 12. Determine el valor de EC. Tenemos que DAC = ECF ADF = CEF por se ambos ángulos internos entre paralelas luego ADF CEF por el teorema AA de semejanza. EC DA = CF AF Tenemos que CF = AC AF = = 10 EC 12 = EC = = Ejemplo 1.5. En la figura AB = 12, CD = 8 y DE = 15. Encuentre el valor AE Observamos que en el punto C se forma una pareja de ángulos opuestos por el vértice, y que B = D, ya que ambos son ángulos rectos; luego por el Teorema de Semejanza AA, se tiene ABC EDC. Por tanto BC DC = AB ED DC AB BC = ED = 8 12 = Aplicando el Teorema de Pitágoras en cada triángulo podemos encontrar AC y CE, cuya suma forma AE, pero también podemos prolongar el segmento AB y trasladar el segmento BD para formar un solo triángulo rectángulo AEF y calcular directamente AE. Se tiene AF = AB + DE = = 27 y EF = BD + CD = = 14.4 Aplicando el Teorema de Pitágoras resulta AE = = 30.6 Portal 8 sv.portaldematematica.com

9 Ejercicios Propuestos 1. Una recta paralela a un lado de un triángulo, determina sobre un segundo lado dos segmentos de 18 m. y 7 m. Cuáles son los segmentos determinados en el otro lado, cuya longitud es 30 m.? 2. Dos lados de un triángulo miden 158 y 176 m. A partir del vértice común se marca un punto a 120 m. del vértice en el primer lado A qué distancia del vértice se debe marcar un segundo punto en el otro lado, para que la recta que une los puntos obtenidos sea paralelo al tercer lado? 3. En la figura KH BA. Si AH = 3, BK = 5, CK = 12, Hallar CH 4. En la figura CD AC, EB AC. AB = 12, EB = 8, CD = 120. Hallar BC 5. En la figura AB CD. Si DE = 15, AB = 15, DC = 20, Hallar EB 6. En la figura F G EH y EG DH. Encuentre el valor de x y y. Portal 9 sv.portaldematematica.com

10 7. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 m. Uno de los segmentos determinados por la altura en la hipotenusa es 20 m. Calcular las longitudes de las alturas y los catetos. 8. Los tres lados de un triángulo miden 25, 60 y 65 m. Calcular las proyecciones de los dos primeros sobre el tercero. Calcular también la altura relativa al tercer lado. 9. Si ABC es equilátero con AB = 6 Cuál es el área del ABC? 10. Si ABC P QR y la razón entre sus lados correspondientes es 4. Cuál es la 3 razón entre su áreas? 11. Si ABC P QR él área del ABC es de 64y el área del P QR es 16 Cuál es la razón entre los lados correspondientes? Portal 10 sv.portaldematematica.com