UNIDAD Nº Momento de una fuerza

Transcripción

1 UNIDAD Nº Momento de una fuerza El efecto producido sobre un cuerpo por una fuerza de magnitud y dirección dadas, depende de la posición de la línea de acción de la fuerza. Línea de acción de F 2 F 2 Línea de acción de F 1 Fig. 3.1 F 1 Así, en la Fig. 3.1, la fuerza F 1 originaría una rotación en sentido contrario al de las agujas del reloj (simultáneo con una traslación hacia la derecha), mientras que la fuerza F 2 produciría una rotación en el mismo sentido que el de las agujas del reloj. o F Fig. 3-2 La línea de acción de una fuerza puede quedar determinada mediante su distancia a algún punto de referencia. En muchos casos, tendremos que estudiar el movimiento de un cuerpo que puede girar libremente alrededor de un eje bajo la acción de un cierto número de fuerzas coplanarias, situadas las mismas en un plano perpendicular al referido eje. Resulta entonces conveniente elegir el punto en el cual el eje corta a dicho plano, como punto de referencia. La distancia desde ese punto, que simboliza un eje de rotación, a la línea de acción de la fuerza, se denomina brazo de la fuerza o brazo de momento de la fuerza respecto al eje. El producto del valor de una fuerza por su brazo se denomina momento de la fuerza respecto al eje. Página 41

2 F 1 A Línea de acción de F 1 Brazo de palanca de F 1 F 3 O l 1 Línea de acción de F 3 l 2 Brazo de palanca de F 2 B Línea de acción de F 2 F 2 Fig. 3.3 Así, la Fig. 3.3 es la vista superior de un objeto plano que gira alrededor de un eje perpendicular al plano de la figura y que pasa por el punto O. El cuerpo esta sometido a las fuerzas F 1, F 2 y F 3 que se encuentran en el plano de la figura. El brazo de momento de F 1 es la distancia OA de la longitud l 1 y el brazo de momento F 2 es la distancia OB de longitud l 2. La línea de acción de la fuerza F 3 pasa por el punto O y en consecuencia su brazo de momento es igual a cero. El efecto de la fuerza F 1 es producir una rotación alrededor del eje en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras que el de la fuerza F 2 es producir una rotación del mismo sentido que las agujas del reloj. Para distinguir entre estos sentidos de rotación adoptaremos el convenio de que los momentos de sentido contrario al del reloj son positivos y los del mismo sentido son negativos. Por consiguiente, el momento M 1 de la fuerza F 1 respecto al eje que pasa por O, es: Y el momento M 2 de F 2 es: M 1 = + F 1 l 1 M 2 = - F 2 l 2 Si las fuerzas se expresan en Newton y las longitudes en metros, los momentos se expresan en Newton metro (Nm). 3.2 Segunda condición de equilibrio Hemos visto anteriormente que cuando un cuerpo está sometido a un número cualquiera de fuerzas coplanarias, éstas pueden reducirse siempre a dos como en la fig Para que el Página 42

3 cuerpo esté en equilibrio, estas fuerzas: (a) han de ser de igual magnitud y de sentido opuesto; (b) han de tener la misma línea de acción. El requisito (a) queda satisfecho por la primera condición de equilibrio: F x = 0 ; F y = 0 El requisito (b), que es la segunda condición de equilibrio, puede expresarse de un modo sencillo en función de los momentos de las fuerzas. F 1 l A O F 2 Fig. 3.4 La Figura 3.4 indica un objeto plano sometido a dos fuerzas F 1 y F 2. Si el objeto esta en equilibrio, los valores de F 1 y F 2 son iguales y ambas fuerzas tienen la misma línea de acción. Por consiguiente, tienen el mismo brazo de momento OA, de longitud l, respecto a un eje que atraviesa al plano perpendicularmente en cualquier punto arbitrario O. Sus momentos respecto al eje son así iguales en valor absoluto y de signo opuesto, siendo su suma algebraica nula. Por lo tanto, la condición necesaria y suficiente para que dos fuerzas iguales y opuestas tengan la misma línea de acción es que la suma algebraica de sus momentos respecto a cualquier eje sea nula. Según esto, la segunda condición de equilibrio puede expresarse analíticamente así: M = 0 (respecto a cualquier eje) Segunda Condición de Equilibrio Para calcular la suma de los momentos de un sistema de fuerzas coplanarias, se calcula separadamente el momento de cada fuerza y luego se suman estos momentos algebraicamente. Así, si un cuerpo está en equilibrio bajo la acción de un número cualquiera de fuerzas coplanarias, la suma algebraica de los momentos de estas fuerzas respecto a cualquier eje arbitrario es nula. Ejemplo Nº 1: Una barra rígida cuyo peso propio es despreciable (Fig. 3.5) está apoyada en el punto O y soporta en el extremo A un cuerpo de peso ω 1. Hallar el peso ω 2 de un segundo cuerpo atado al extremo B, necesario para que la barra esté en equilibrio. Calcular también la fuerza ejercida sobre la barra por el pivote situado en O. Página 43

4 P A O B A O B l 1 l 2 T 2 ω (a) 1 ω 2 T 1 (b) Fig. 3.5 La Figura 3.5(b) representa el diagrama de fuerzas de la barra. Las fuerzas T 1 y T 2 son iguales, respectivamente, a ω 1 y ω 2. Tomando momentos respecto a un eje perpendicular a la barra y que pase por O, las condiciones de equilibrio dan: F y = P T 1 T 2 = 0 M o = T 1 l 1 T 2 l 2 = 0 (1º condición) (2º condición) Sean l 1 = 3 m, l 2 = 4 m y ω 1 = 4 N. De las ecuaciones anteriores se deduce: P = 7 N T 2 = ω 2 = 3 N Para comprobar que el momento resultante respecto a cualquier eje es nulo, calculemos los momentos respecto a un eje que pase por el punto A: M A = P l 1 T 2 (l 1 + l 2 ) M A = 7 N x 3 m 3 N x 7 m = O No es necesario que el punto respecto al cual se toman momentos se encuentre sobre la barra. Para comprobar esto, el lector puede calcular el momento resultante respecto a un punto situado 1 m a la izquierda de A y 1 m por encima de el. Ejemplo Nº 2: En la Figura 3.6, la escalera mide 6 m de longitud, pesa 80 N y tiene su centro de gravedad en el punto medio. La misma se encuentra en equilibrio apoyada contra una pared vertical sin rozamiento y forma un ángulo de 53º con el suelo. Se desea calcular los valores y direcciones de las fuerzas que ejercen la pared (F 1 ) y el piso (F 2 ) contra la escalera. Si la pared no tiene rozamiento, F 1 es horizontal. La dirección de F 2 es desconocida (salvo casos especiales, su dirección no coincide con la de la escalera). En lugar de considerar como incógnitas su valor y dirección, es más sencillo descomponer la fuerza F 2 en sus componentes según los ejes x e y, y hallar éstas. Después puede calcularse el valor y dirección de F 2. La primera condición de equilibrio proporciona, por lo tanto, las ecuaciones: F x = F 2 cos θ - F 1 = 0 F y = F 2 sen θ - 80 N = 0 (1 a condición) Página 44

5 F 1 F 2 6 m F 2 sen θ 4,8 m A θ 53º F 2 cos θ 1,8 m ω = 80 N 1,8 m Fig. 3.6 Al escribir la segunda condición pueden calcularse los momentos respecto a un eje que pase por cualquier punto. La ecuación resultante es más sencilla si se elije un punto por el cual pasen dos o más fuerzas, puesto que estas fuerzas no aparecerán en la ecuación. Tomemos por lo tanto, momentos respecto a un eje que pase por el punto A: M A = F 1 x 4,8 m 80 N x 1,8 m = 0 (2 a condición) En virtud de la segunda ecuación, F 2 sen θ = 80 N y de la tercera, F 1 = (144 Nm/4,8 m) = 30 N Entonces, de la primera ecuación: F 2 cos θ = 30 N Por consiguiente: F 2 = (80 N) 2 + (30 N) 2 = 85,5 N θ = arc tang (80 N/30 N) = 69,5º Este método es más sencillo que el utilizado en el Ejemplo Nº 5 de la Unidad Nº 2 (páginas 31/33), porque no es necesario determinar el punto de intersección de las fuerzas concurrentes F1, F2 y ω. Página 45

6 3.3 Resultante de un conjunto de fuerzas paralelas La dirección de la resultante de un conjunto de fuerzas paralelas es la misma que la de las fuerzas y su magnitud es la suma de sus magnitudes. La línea de acción de la resultante puede encontrarse a partir de la condición de que el momento de la resultante respecto a cualquier eje ha de ser igual a la suma de los momentos de las fuerzas dadas. y R F F 2 1 O x 1 x x 2 x Fig. 3.7 Consideremos las fuerzas paralelas F 1 y F 2 de la Fig El punto O es un punto cualquiera arbitrario y el eje x se ha tomado perpendicular a la dirección de las fuerzas. Las fuerzas no tienen componentes según el eje x, de modo que la magnitud de la resultante: R = F y = F 1 + F 2 Si x 1 y x 2 son las distancias desde O a las líneas de acción de las fuerzas, su momento resultante respecto a un eje que pase por O es: M o = x 1 F 1 + x 2 F 2 Representaremos por x la distancia desde O a la línea de acción de la resultante. El momento de la resultante respecto a O será: M o = R x = (F 1 + F 2 ) x Y puesto que debe ser igual al momento resultante, tenemos: Por consiguiente: (F 1 + F 2 ) x = F 1 x 1 + F 2 x 2 X = F 1 X 1 + F 2 X 2 F 1 + F 2 Quedando determinados el valor, el sentido y la línea de acción de la resultante. Generalizando: Página 46

7 n R = F i i=1 Resultante de n fuerzas paralelas x = F.x F = F.x R Coordenadas de la línea de acción de la fuerza resultante y = F.y F = F.y R Ejemplo Nº 3: Cuando un cuerpo está en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas, la resultante de dos cualesquiera de ellas es igual y opuesta a la tercera y tiene la misma línea de acción. Demostrar que estas condiciones son satisfechas por las tres fuerzas paralelas de la Fig. 3.5(b). Se demostró en el Ejemplo Nº 1 de la Sección 3.2, que si l 1 = 3 m, l 2 = 4 m y T 1 = 4 N, entonces T 2 = 3 N y P = 7 N. Calculemos primero la resultante de T 1 y T 2. Tomemos el eje x a lo largo de la barra con el origen en el punto A. El valor de la resultante es: R = F = - 4 N - 3 N = - 7 N La coordenada de su línea de acción es: x = F.x F = (4 N x 0-3 N x 7 m) / (- 7 N) = 3 m Por consiguiente, la resultante de T 1 y T 2 es igual y opuesta a P y tiene la misma línea de acción. La resultante de P y T 2 tiene por magnitud: R = F = 7 N 3 N = 4 N La coordenada de su línea de acción es: x = F.x F = (7 N x 3 m - 3 N x 7 m) / (4 N) = 0 De modo que la resultante de P y T 2 es igual y opuesta a T 1 y tiene la misma línea de acción. 3.4 Centro de gravedad Cada partícula material de un cuerpo es atraída por la Tierra y la fuerza única que llamamos peso del cuerpo es la resultante de todas estas fuerzas de atracción. El sentido de la fuerza ejercida sobre cada partícula es hacia el centro de la Tierra, pero la distancia hasta el mismo es tan grande que, para todos los fines prácticos, las fuerzas pueden considerarse Página 47

8 paralelas entre sí. Por consiguiente, el peso de un cuerpo es la resultante de un gran número de fuerzas paralelas. La Fig. 3.8(a) representa un objeto plano de forma arbitraria situado en el plano xy, siendo el eje y vertical. Supongamos el cuerpo subdividido en un gran número de pequeñas partículas de pesos w 1, w 2, etc., y sean x 1 e y 1, x 2 e y 2, etc., las coordenadas de estas partículas. El peso total W del objeto es: W = w1 + w = w [3.1] La coordenada x de la línea de acción W es: x wx + wx = = = w + w +... w W 1 2 wx wx [3.2] y x 1 x 1 ;y 1 y x 1 ;y 1 w 1 O w 1 x y 1 X 2 x 2 ;y 2 O x W w 2 y c.g. x;y W x 2 ;y 2 y 2 W w 2 x (a) Fig. 3.8 (b) Supongamos ahora que el objeto y los ejes de referencia han girado 90º en el sentido de las agujas de un reloj, o lo que equivale a lo mismo, consideremos que las fuerzas gravitatorias han girado 90º en sentido contrario al de las agujas del reloj, como en la Fig. 3.8(b). El peso total W pertenece invariable, y la coordenada y de su línea de acción es: y wy + wy = = = w + w +... w W 1 2 wy wy [3.3] El punto de intersección de las líneas de acción de W en ambas partes de la Fig. 3.8 tiene las coordenadas x e y, y se denomina centro de gravedad del objeto. Considerando cualquier orientación arbitraria del objeto, se puede demostrar que la línea de acción de W pasa siempre por el centro de gravedad. Si se han determinado los centros de gravedad de un cierto número de cuerpos, las coordenadas del centro de gravedad del conjunto pueden ser calculadas a partir de las ecuaciones [3.2] y [3.3], siendo w 1, w 2, etc., los pesos de los cuerpos, y x 1 e y 1, x 2 e y 2, etc., las coordenadas del centro de gravedad de cada uno. Página 48

9 Son útiles frecuentemente consideraciones de simetría para encontrar la posición del centro de gravedad. Así, los centros de gravedad de una esfera, un cubo, un disco circular o una placa rectangular, homogéneos, se encuentran en su centro respectivo. Los de un cilindro o un cono recto de revolución se encuentran sobre sus ejes de simetría, y así sucesivamente. Ejemplo Nº 4: Localizar el centro de gravedad de la pieza de máquina de la Fig. 3.9, que se compone de un disco de 2 cm de diámetro y 1 cm de altura y de una barra de 1 cm de diámetro y 6 cm de longitud, construida de un material homogéneo. y 1 cm 6 cm x 2 cm 1 c.g. x 2 x O 1 cm Fig. 3.9 w 1 w 2 Por simetría, el centro de gravedad c.g. se encuentra sobre el eje, y el centro de gravedad de cada parte equidista de sus extremos. El volumen del disco es π cm 3 (πx1 2 x1), y el de la barra 3π/2 cm 3 (πx1 2 x6/4). Puesto que los pesos de ambas partes son proporcionales a sus volúmenes: w(disco)/w(barra) = w 1 /w 2 = π/(3π/2) = 2/3 w 2 = (3/2) w 1 Tomemos el origen O en la cara izquierda del disco, sobre el eje. Entonces, x 1 = 0.5 cm, x 2 = 4 cm, y x = [w 1 x 0,5 cm + (3/2) w 1 x 4 cm] / [w 1 + (3/2) w 1 ] = 2,6 cm El centro de gravedad se encuentra sobre el eje, 2,6 cm a la derecha del punto O. (a) (b) Fig Página 49

10 El centro de gravedad de un objeto plano puede determinarse experimentalmente como se indica en la Fig Supongamos que sostenemos una hoja rígida de cualquier material entre el pulgar y el índice, de modo que cuelgue libremente desde cualquier extremo arbitrario como se observa en la Fig. 3.10(a). Si trazamos en la hoja una línea vertical que pase por el punto de suspensión, el centro de gravedad estará en algún punto de esa línea. Si ahora sostenemos la hoja desde otro extremo y repetimos el procedimiento como se muestra en la Fig. 3.10(b), el punto en el que las líneas se cruzan será el centro de gravedad de la hoja. El centro de gravedad de un cuerpo tiene otra propiedad importante. Una fuerza F cuya línea de acción se encuentra a un lado o al otro del F centro de gravedad, como en la Fig. 3.11(a), F cambiará a la vez el movimiento de traslación y el de rotación del cuerpo sobre el cual actúa (Un (a) (b) Fig ejemplo de este tipo de movimiento se manifiesta cuando pateamos una pelota de fútbol y ésta parte con efecto. El movimiento de traslación es el desplazamiento de la pelota hacia el arco y el movimiento de rotación es el giro que realiza la pelota sobre sí misma produciendo el efecto ). Sin embargo, si la línea de acción pasa por el centro de gravedad, como en la parte (b) de la figura, sólo queda afectado el movimiento de traslación y el cuerpo conserva su equilibrio de rotación (en este caso la pelota se traslada sin efecto, o sea sin rotación). Cuando un objeto descansa o desliza sobre otro, las fuerzas normales y de rozamiento forman conjuntos de fuerzas paralelas distribuidas sobre la superficie de contacto. Los vectores únicos que se han utilizado para representar estas fuerzas son, en realidad, las resultantes de estos sistemas de fuerzas paralelas. 3.5 Pares Con frecuencia ocurre que las fuerzas que actúan sobre un cuerpo se reducen a dos fuerzas de igual magnitud y sentido opuesto, cuyas líneas de acción son paralelas pero no coinciden. Tal pareja de fuerzas se denomina un par. Un ejemplo conocido nos lo proporcionan las fuerzas que actúan sobre una aguja imantada colocada en el campo magnético terrestre (brújula). Los polos Norte y Sur de la aguja están sometidos a fuerzas iguales, dirigidas una hacia el Norte y otra hacia el Sur, como se indica en la Fig (página siguiente). Excepto cuando la aguja señala la dirección N-S, las dos fuerzas no tienen la misma línea de acción. /// Página 50

11 BRÚJULA S N Fig La Fig representa un par que se compone de dos fuerzas, cada una de las cuales tiene una magnitud F, y F separadas por una distancia perpendicular l. La l resultante R de las fuerzas es: R = F F = O O El hecho de que la fuerza resultante sea nula quiere decir que un PAR no es capaz de producir una traslación del cuerpo sobre el cual actúa. El único efecto de un PAR es producir rotación. x 1 x 2 Fig El momento resultante del par en la Fig. 3.13, respecto al punto arbitrario 0, es: M 0 = x 1 F - x 2 F = x 1 F - (x 1 + l) F = - l F F x Puesto que las distancias x 1 y x 2 no aparecen en el resultado, deducimos que el momento del par es el mismo respecto a todos los puntos del plano de las fuerzas que forman el par y es igual al producto del valor de cada fuerza por la distancia entre sus líneas de acción. Un cuerpo sometido a un par sólo puede mantenerse en equilibrio mediante la acción de otro par del mismo momento y sentido opuesto. Como ejemplo, puede considerarse que la escalera de la Fig. 3.6 está sometida a dos pares: uno, formado por las fuerzas F 2 sen θ y ω: el otro, por las fuerzas F 2 cos θ y F 1. El momento del primero es: M 1 = 1,80 m 80 N = 144 Nm y el momento del segundo es: M 2 = 4,80 m 30 N = 144 Nm El primer momento tiene el sentido de las agujas de un reloj, y el segundo, sentido contrario. Página 51

12 P R O B L E M A S Problema Nº 3.1: Estando el sistema de la figura en equilibrio y siendo despreciables los pesos de las cuerdas, cuál es el peso de la tabla si la misma es homogénea? 2 L 8 L T = 30 N F = 20 N Respuesta: ω = 93,33 N Problema Nº 3.2: En la figura, la barra homogénea AB pesa 30 N y puede girar alrededor de B. Determinar el módulo de F que establece el equilibrio en las condiciones indicadas. B 30º F A Respuesta: F = 8.65 N Problema Nº 3.3: La tabla mostrada en la figura pesa 30 N y es de constitución homogénea. Si el peso del objeto sobre la misma es de 100 N y las cuerdas son de peso despreciable, cuáles serán las tensiones existentes en cada una de éstas? B C A 53º 3L/4 L/4 Respuesta: T A = 67,79 N ; T B = 40 N ; T C = 112,64 N Problema Nº 3.4: La barra rígida de la figura siguiente, cuyo peso es despreciable, se encuentra en equilibrio simplemente apoyada sobre los soportes A y B. Actúan sobre la misma las fuerzas indicadas cuyos módulos son F 1 = 200 N, F 2 = 100 N y F 3 = 400 N. Determinar las reacciones en los apoyos. /// Página 52

13 F 1 F 2 F 3 A 3 m 2 m 4 m 1 m 2 m B Respuesta: R A = 300 N ; R B = 400 N Problema Nº 3.5: El puntal de la figura pesa 40 N y su centro de gravedad está en su punto medio. Calcular: a) la tensión del cable: b) las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida sobre el puntal por la pared. 1,80 m 3 m 2,40 m Respuesta: a) F T = 133,33 N b) F H = 106,66 N ; F V = 20 N 60 N Problema Nº 3.6: Un elevador que pesa N y cuyas dimensiones son 2,40 2,40 x 3,60 m, cuelga de un cable con una pequeña holgura entre guías verticales sin rozamiento, G y G, como se indica en la figura. Se coloca en el elevador una carga de 600 N con su centro de gravedad desplazado 60 cm a la izquierda del centro del piso. El elevador es entonces ascendido a velocidad constante. a) Representar en un esquema la posición y sentido de las fuerzas ejercidas por las guías sobre el elevador. b) Calcular el valor de estas fuerzas. T G G 2,40 m 3,60 m Respuesta: F F = 100 N F Problema Nº 3.7: Determinar el valor y la línea de acción de la resultante de las cuatro 60 cm 30 cm 60 cm fuerzas de la figura. 50 N Respuesta: R = - 70 N x = - 42,86 cm (desde extremo izquierdo) 80 N 100 N 60 N Página 53

14 Problema Nº 3.8: Una puerta de 2,1 m de alto y 0,9 m de ancho está colgada de bisagras separadas 1,80 m entre si y a 15 cm de los bordes superior e inferior. La puerta pesa 30 N, su centro de gravedad coincide con su centro geométrico y cada bisagra soporta la mitad del peso de la puerta. Calcular la componente horizontal de la fuerza ejercida sobre la puerta en cada bisagra. Respuesta: F = 7,5 N Problema Nº 3.9: Para mantener en equilibrio una barra en la posición representada en la figura, ha de aplicarse una sola fuerza. Consideramos despreciable el peso de la barra. a) Cuáles son las componentes F x y F y de la fuerza necesaria? b) Cuál es la tangente del ángulo que la fuerza ha de formar con la barra? c) Cuál es el valor de la fuerza necesaria? d) Dónde deberá aplicarse esta fuerza? 3 m 37º ω 1 = 2 N ω 2 = 10 N Respuesta: a) F x = - 6 N ; F y = 10 N b) tang θ F = - 5/3 c) F = 11,7 N d) x = 0,6 m (desde extremo derecho) Problema Nº 3.10: El extremo A de la barra AB de la figura descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento, mientras que el extremo B está colgado. Se ejerce una fuerza horizontal P de 12 N sobre el extremo A. Despreciando el peso de la barra, cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por la barra sobre la articulación B? Respuesta: F x = 12 N ; F y = 16 N P A 3 m B 2,4 m Problema Nº 3.11: Un bloque rectangular de 30 cm de ancho y 60 cm de altura es arrastrado hacia la derecha a velocidad constante sobre una superficie horizontal, mediante una fuerza P, según se indica en la figura siguiente. El coeficiente cinético de rozamiento es 0,4, el bloque pesa 25 N y su centro de gravedad está en su centro geométrico. Calcular: a) la fuerza P /// Página 54

15 requerida, b) la línea de acción de la fuerza normal N ejercida sobre el bloque por la superficie, si la altura h es de 15 cm; c) el valor de h para el cual el bloque comienza a volcarse. Respuesta: a) P = 10 N b) 6 cm (a la derecha del centro) c) h = 37,5 cm 60 cm 30 cm c.g. h Problema Nº 3.12: Determinar la posición del centro de gravedad de la lámina en forma de T de la figura. Respuesta: a 13,21 cm de la base y sobre el eje de simetría vertical 20 cm 5 cm 7,5 cm 7,5 cm 15 cm 5 cm Problema Nº 3.13: La pieza de máquina representada en sección transversal en la figura se compone de dos cilindros macizos, homogéneos y coaxiales. Dónde se encuentra su centro de gravedad?. 30 cm 20 cm r 1 = 5 cm r 2 = 2,5 cm Respuesta: a 21,25 cm del extremo izquierdo y sobre el eje de simetría horizontal Página 55

16 BIBLIOGRAFÍA Fundamentos de I de F. Sears General de Sears y Zemansky Universitaria de Sears, Zemansky, Young y Freedman Conceptual de P. Hewitt Fuentes varias de Internet Página 56

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