Pórticos espaciales. J. T. Celigüeta

Transcripción

1 Pórticos espaciales J. T. Celigüeta

2 Pórtico espacial. Definición Estructura reticular. Barras rectas de sección despreciable. Cualquier orientación en el espacio. Barras unidas rígidamente en ambos extremos. Se transmiten 3 fuerzas y 3 momentos entre el nudo y la barra Puede haber articulaciones Cargas exteriores en cualquier dirección Deformaciones: 3 desplazamientos y 3 giros 5 kn-m 2 kn/m 10 kn 4 m 2 m 4 m 4 m 1

3 Condiciones de estabilidad Incógnitas= 12 b + r Ecuaciones estática: 6n + 6b + c A 12 b+r < 6n+6b+c Inestable B C Isostático 12 b+r = 6n+6b+c Hiperestático 12 b+r > 6n+6b+c Además de cumplirse B o C, la disposición de las barras debe evitar toda inestabilidad local. Es posible cumplir B, y ser a la vez inestable e hiperestático Habitualmente son hiperestáticos con h muy alto 2

4 Ejemplos (I) a) b) b=8 n=8 r=24 c=0 h=24 b=7 n=8 r=17 c=1 h=10 3

5 Ejemplos (II) c) d) b=8 n=8 r=24 c=24 h=g=4 b=8 n=8 r=24 c=12 h=12 4

6 Barra en el espacio Deformaciones de la fibra neutra: v axial u, laterales v, w, giros según X,, u P u X Deformaciones de un punto P fuera de la fibra neutra: dv dw up = u θy + θz = u y z dx dx w X 5

7 Barra en el espacio Deformación unitaria axial debida a la flexión y axial: ε X = = x dx dx dx 2 2 up du d v d w y 2 2 z v x X u V du/dx X w W 6

8 Barra en el espacio Distribución de temperatura lineal: T = Tm + ytgy + ztgz Ecuación constitutiva lineal: σ = E( ε αt) X X σx = Eu ( vy wz αt) xy xy x x x xz X xz X 7

9 Barra en el espacio: esfuerzos (I) q a N σda= EAu EAαT m N N M σyda= EI v + EI αt gy M q Q M M σzda= EI w + EI αt gz Q Q Q X M q M 8

10 Barra en el espacio: esfuerzos (II) Cortantes Q = τ xy da Q = τ xz da Momento torsor M T M T ( τ τ ) M = y z da T xz xy 9

11 Barra a flexión en el espacio. Ecs. Equilibrio (I) a Fuerza axial: q a = 2 du EA dx 2 Propiedades uniformes 10

12 Barra a flexión en el espacio. Ecs. Equilibrio (II) Momentos s/ Fuerzas s/ Q q dm = dx = 4 dv EI dx 4 11 Propiedades uniformes

13 Barra a flexión en el espacio. Ecs. Equilibrio (III) z Momentos s/ Fuerzas s/ Q q dm = dx = EI 4 dw dx 4 Propiedades uniformes 12

14 Barra en el espacio: tensiones Flexión y esfuerzo axial: N M y Mz A I I σ X = Esfuerzos cortantes: τ X QA QA = τ = Ib X Ib Torsión: según la teoría de torsión. Contribuye a las 2 tensiones cortantes τ 13

15 Barra en el espacio: energía Energía acumulada en toda la barra (sin energía de cortante ni torsión): 2 * N Ub = dx + NαTmdx 2EA 2 M EI dx M α T gy dx 2 M EI dx M α T gz dx

16 Barra en el espacio. Torsión M M ( ϕ ϕ ) IX IX JX JX GJ = L = M IX Rigidez a la torsión: G J / L G: módulo de elasticidad en cortadura Sección circular: J = momento de inercia polar Otras secciones: J según la teoría de la torsión U Tb = 2 MT 2GJ dx 15

17 Barra en el espacio: grados de libertad δ I δ δ δ ϕ ϕ ϕ IX I I = IX I I δ J δ δ δ ϕ ϕ ϕ JX J J = JX J J 3 desplazamientos y 3 giros en cada nudo I I v J J I IX u JX I IX w X J J JX 16

18 Barra en el espacio: fuerzas en los nudos P J M JL P JX P J M JL M JXL P I M IL P I M IL P IX M IXL P I PIX P I P I = M IXL M IL M IL P J PJX P J P J = MJXL M JL M JL 3 fuerzas y 3 momentos en cada nudo 17

19 Barra en el espacio: rigidez en el sistema local P δ δ δ M K K ϕ ϕ M ϕ δ δ δ M KLJI K LJJ ϕ ϕ M ϕ JL IX P I P I IXL LII LIJ M IL IL = PJX P J P J JXL M JL IX I I IX I I JX J J JX J J Matriz de 12 x submatrices de 6 x 6 4 efectos desacoplados: 2 flexiones (X, X) axial (X) torsión Se obtiene ensamblando las matrices de: - viga plana en X (4 gdl), - viga plana en X (4 gdl), - barra axial (2 gdl) y - barra a torsión (2 gdl) 18

20 Barra en el espacio: rigidez en el sistema local K LII EA L 12EI z 6EI z L L 12EIy 6EI y L L = GJ L 6EIy 4EIy L L 6EI z 4EI z L L Barra bi articulada Viga a flexión en plano X Viga a flexión en plano X Barra a torsión pura 19 4 efectos desacoplados: 2 flexiones (X, X) axial (X) torsión (Giro X)

21 Barra en el espacio. Ubicación en 3D (I) Sistema local de la barra conocido: Eje X local: nudo I al nudo J. Ejes, locales : ejes principales de inercia de la sección Ubicar los ejes locales respecto de los generales. 20

22 Barra en el espacio. Ubicación en 3D (II) Ubicar los ejes locales : tres rotaciones sucesivas α, β y ψ G L L 21

23 Barra en el espacio. Ubicación en 3D (III) Método del punto auxiliar: En lugar del ángulo ψ se definen las coordenadas de un punto P cualquiera situado en el plano X L, L. A partir de ellas es fácil determinar ψ 22

24 Barra en el espacio. Ubicación en 3D (IV) Ángulos α, β: pueden ser calculados en función de los tres cosenos directores del eje X local (λ, μ, ν) Ángulo auxiliar ψ : su valor debe ser definido como dato por el usuario para completar la definición del sistema local T λ μ ν λμ cos ψ ν sin ψ μν cos ψ + λ sin ψ = Dcos ψ D λ ν D D = + λμ sin ψ ν cos ψ μν sin ψ + λ cos ψ D sin ψ D D 2 2 Nota: se produce una indeterminación si la barra es paralela al eje general, con lo que D=0. Se adopta un valor de ψ de 90º o 270º. 23

25 Rigidez en coordenadas generales Δ Δ Grados de libertad { θ θ θ } T = Δ Δ Δ I IX I I IX I I { θ θ θ } T = Δ Δ Δ J JX J J JX J J F F = Fuerzas y momentos { F F F M M M } T I IX I I IX I I = { F F F M M M } T J JX J J JX J J J F J M J J M J G J J JX JX G F J M JX F JX I I K G = T K T T 4 L 4 M I F I G I 24 I IX IX X G M I 12 x 12 llena F IX X G G F I M IX

26 Barras en el espacio con articulaciones Varias situaciones: 1, 2 ó 3 momentos nulos, en 1 ó 2 nudos L I I J J M L =0 IX X L JX I IX J J JX L Van apareciendo en la matriz de rigidez filas y columnas nulas, correspondientes a los esfuerzos anulados, hasta llegar a la barra biarticulada (sólo N). 25

27 Barras en el espacio con articulaciones Situaciones muy complejas: El eje de la articulación no coincide con un eje principal de inercia (eje local) Emplear un sistema local distinto en cada nudo, de tal forma que en el nudo I sea fácil definir la condición M=0. Sistema de grados de libertad mixto 26

28 Ejemplos 27

29 Ejemplos 28

30 Ejemplos 29

31 Ejemplos Velódromo (Korea) 30

32 Ejemplos Estadio Chunju (Corea) Torre spinnaker (Portsmouth, UK) 31