Matemáticas para estudiantes de Química

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1 Matemáticas para estudiantes de Química

2 PROYECTO EDITORIAL BIBLIOTECA DE QUÍMICAS Director: Carlos Seoane Prado Catedrático de Química Orgánica Universidad Complutense de Madrid

3 Matemáticas para estudiantes de Química Soledad Rodríguez Salazar Profesor Titular de Universidad Departamento de Arquitectura de computadores y automática Facultad de Ciencias Físicas. Universidad Complutense EDITORIAL SINTESIS

4 Soledad Rodríguez Salazar EDITORIAL SÍNTESIS, S. A. Vallehermoso, Madrid Teléfono: Depósito legal: M ISBN: Impreso en España - Printed in Spain Reservados todos los derechos. Está prohibido, bajo las sanciones penales y el resarcimiento civil previstos en las leyes, reproducir, registrar o transmitir esta publicación, íntegra o parcialmente, por cualquier sistema de recuperación y por cualquier medio, sea mecánico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o cualquier otro, sin la autorización previa por escrito de Editorial Síntesis, S. A.

5 A los estudiantes de primer curso de Ciencias Químicas

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7 Índice PRÓLOGO INTRODUCCIÓN NÚMEROS, RECTAS Y PARÁBOLAS Introducción: números y funciones Los números reales El valor absoluto y los intervalos en la recta real El orden en los números reales y el infinito Las rectas Las parábolas Los números complejos Ejercicios POLINOMIOS Y FUNCIONES RACIONALES Los polinomios y el teorema Fundamental del Álgebra Funciones racionales Reducción de una función racional a fracciones simples Ejercicios FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Introducción Características de algunas funciones Composición de funciones La función inversa Las funciones trigonométricas. Medidas de ángulos. Funciones periódicas... 52

8 8 MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE QUÍMICA 3.6. Las funciones seno y coseno Amplitud, frecuencia, longitud de onda La función tangente Otras funciones trigonométricas Funciones inversas de las funciones trigonométricas Coordenadas polares Ejercicios FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. FUNCIONES ELEMENTALES La función exponencial La función logaritmo Propiedades de los logaritmos Cambio de base Las funciones hiperbólicas Funciones elementales Funciones y magnitudes Ejercicios FUNCIONES CONTINUAS Y DERIVABLES Límites y funciones continuas Dos propiedades importantes de las funciones continuas Funciones derivables El primer problema fundamental del Cálculo: la recta tangente La recta tangente como aproximación lineal de la curva Algunas propiedades importantes de las funciones derivables La velocidad Ejercicios CÁLCULO DE DERIVADAS Introducción Cálculo de algunas derivadas a partir de la definición Derivada del producto Derivada del cociente Derivadas del seno y el coseno Derivada de la composición de funciones: regla de la cadena Derivada de la función inversa Derivada de x a, a Derivadas sucesivas La notación diferencial Ejercicios

9 ÍNDICE 9 7. DERIVACIÓN IMPLÍCITA Funciones implícitas Derivación implícita Tangente a una curva dada en forma implícita Ejercicios LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Introducción Derivada de la función exponencial Derivada de la función logaritmo Derivación logarítmica Ejercicios PUNTOS ESTACIONARIOS. MÁXIMOS Y MÍNIMOS Introducción Máximos y mínimos relativos Puntos de inflexión Concavidad y convexidad Problemas de optimización Ejercicios REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Introducción Comportamiento en el infinito de una función Representación gráfica de funciones en forma explícita Representación gráfica de funciones en forma implícita Representación de curvas en coordenadas polares Ecuaciones paramétricas de una curva Ejercicios FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Introducción Funciones reales de dos variables reales Representación gráfica de superficies. Curvas de nivel Algunas superficies Funciones continuas Ejercicios DERIVADAS PARCIALES Derivación parcial Derivadas sucesivas Regla de Schwarz de las derivadas cruzadas Derivadas parciales en funciones de tres o más variables Derivada parcial inversa

10 10 MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE QUÍMICA Derivación parcial para expresiones implícitas El diferencial total Sentido geométrico de las derivadas parciales. El plano tangente y la aproximación lineal El plano tangente y la aproximación lineal para expresiones implícitas Regla de la cadena. Cambio de variable Regla de la cadena para funciones escalares Cambio de variable Regla del Ejercicios MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Puntos estacionarios Máximos y mínimos locales. Puntos de silla Criterio de las segundas derivadas para la determinación de máximos, mínimos y puntos de silla Aplicación al método de los mínimos cuadrados Extremos condicionados Máximos y mínimos absolutos Ejercicios DIFERENCIALES EXACTAS. FUNCIÓN POTENCIAL. GRADIENTE. DERIVADAS DIRECCIONALES Introducción Diferenciales exactas y función potencial en dos dimensiones Relación de reciprocidad de Euler Gradientes Diferenciales exactas y función potencial en tres dimensiones Derivadas direccionales Derivada de un vector Ejercicios LA INTEGRAL INDEFINIDA Introducción La primitiva Algunas primitivas elementales Métodos de integración Cambio de variable Integración por partes Integración de funciones racionales Integración de algunas funciones trigonométricas Integración de algunas funciones irracionales Nota sobre los cambios de variable

11 ÍNDICE Sobre la diferencial exacta y la función potencial Ejercicios LA INTEGRAL DEFINIDA Introducción El área y la integral definida Teorema Fundamental de Cálculo Áreas limitadas por dos curvas Propiedades de la integral definida Promedio integral. Teorema del Valor Medio para la integral Derivación bajo el signo integral Cálculo de integrales definidas Ejercicios INTEGRALES IMPROPIAS Introducción Integrales impropias de primera especie Integrales impropias de segunda especie Criterios de comparación La campana de Gauss Ejercicios APLICACIONES DE LA INTEGRAL Longitud de una curva Volumen de un sólido de revolución Área de una superficie de revolución Ejercicios INTEGRALES DE LÍNEA Introducción Integral de línea de una función escalar Integral de línea de una forma diferencial Integral de línea de una función vectorial. Campos conservativos Ejercicios SERIES DE NÚMEROS REALES Sucesiones Sucesiones geométricas Sucesiones convergentes Propiedades de las sucesiones Suma de límites Producto por un escalar Producto de límites Cociente de límites

12 12 MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE QUÍMICA Regla del Sándwich Regla del valor absoluto Regla de la monotonía Series numéricas Series geométricas Criterio integral de convergencia de series El número e Criterios de comparación Criterios del cociente y de la raíz Series alternadas Convergencia absoluta Cálculo de la suma de una serie de números reales Ejercicios SERIES DE POTENCIAS Introducción Series de potencias Desarrollo de una función en series de potencias Los polinomios de Taylor como aproximadores de la función Aplicación al cálculo de límites Teorema de Taylor Operaciones con series de potencias Suma de Series Sacar factor común Producto de dos series Derivación e integración de una serie de potencias Series de potencias y polinomios de Taylor en torno a un punto distinto del origen Series cuyos términos pueden ser complejos. Fórmula de Euler Ejercicios PRÁCTICAS DE AUTOAPRENDIZAJE DEL PROGRAMA DERIVE Práctica 1. Funciones de una variable. Resolución de ecuaciones Práctica 2. Límites, derivadas y tangentes Práctica 3. Curvas en paramétricas y polares Práctica 4. Gráficas en 3D Práctica 5. Mínimos cuadrados Práctica 6. Integrales Práctica 7. Series. Polinomios de Taylor EPÍLOGO ÍNDICE DE TÉRMINOS