ELEMENTS FONAMENTALS DE GEOMETRIA

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1 APUNTS DE GEOMETRIA. ELEMENTS FONAMENTALS DE GEOMETRIA Conceptes fonamentals Punt Recta Pla Semirrecta: porció de recta limitada en un extrem per un punt Semipla: es cadasquna de les parts en que queda dividit un pla por una cualsevol deles seues semipla A rectes. semiplano B Segment: porció de recta comprendida entre dos dels seus punts anomenants extrems. Rectas paralelas: son aquellas que pertenecen al mismo plano y no tienen ningún punto en A B común. Rectas secantes: son rectas que se cortan y dividen por tanto al plano en cuatro regiones. Un caso particular de rectas secantes son las perpendiculares, que dividen al plano en cuatro regiones iguales.

2 Mediatriz de un segmento: es la recta perpendicular trazada en su punto medio. Cualquier punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento. Ángulo: es una región del plano limitada por dos semirrectas, que se llaman lados, y que a lado vértice lado tienen un punto común que se llama vértice. Clasificación de los ángulos: - recto: cuando los dos lados son perpendiculares - agudo: la aertura de los lados es menor que un ángulo recto - otuso: la aertura de los lados es mayor que un ángulo recto Bisectriz de un ángulo: es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales. Cualquier punto de la isectriz equidista de los lados del ángulo. B D A Línea poligonal: es una figura formada por varios segmentos unidos por sus extremos. Cuando el extremo del último segmento coincide con el origen del primero, la línea poligonal se llama cerrada, y en caso de que no coincidan, aierta. C

3 A B D Polígono: es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Los elementos de los polígonos son: a) Lados: segmentos que limitan el polígono, AB, BC, CD, DA. ) Perímetro: suma de las longitudes de los lados. c) Vértices: Puntos donde se unen dos lados consecutivos, A, B, C, D. En todo polígono el nº de lados y vértices coincide. d) Diagonales: son los segmentos que unen vértices no consecutivos. e) Ángulos interiores: son los ángulos formados por lados consecutivos. f) Ángulos exteriores: son los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro consecutivo. C D A C B F Ángulo interior = ABC Ángulo exterior = CBF Clasificación de los polígonos: a) Por el número de lados: Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Eneágono Decágono

4 ) Por su forma: Equilátero: lados iguales Equiángulo: ángulos iguales Regular: lados y ángulos iguales Irregular: lados y ángulos desiguales Un polígono se halla inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices están contenidos el ella. Se dice entonces que la circunferencia está circunscrita al polígono. Cuadrilátero inscrito en la circunferencia Pentágono circunscrito a una circunferencia o circunferencia circunscrita al cuadrilátero o circunferencia inscrita en el pentágono Un polígono se halla circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes (tocan en un solo punto) a la misma. Se dice entonces que la circunferencia está inscrita en el polígono. Medida de ángulos Puesto que el ángulo recto resulta una medida demasiado grande para medir ángulos, se definen otro tipo de unidades: a) División sexagesimal La unidad que haitualmente se utiliza es el grado centesimal, que es la noventava parte de un ángulo recto. Por lo tanto una circunferencia tiene 4 ángulos rectos * 90º cada uno = 4 90 = 360º Minuto sexagesimal es la sesentava parte de un grado sexagesimal. 1º = 60' Segundo sexagesimal es la sesentava parte de un minuto sexagesimal. 1' = 60'' ) División centesimal (no se suele utilizar) La unidad es el grado centesimal, que es la centésima parte de un ángulo recto. Por lo tanto una circunferencia tiene 4 ángulos rectos *100 g = g = 400 g Minuto centesimal es la centésima parte de un grado centesimal. 1 g = 100 m Segundo centesimal es la centésima parte de un minuto centesimal. 1 m = 100 s c) Radián

5 Un radián es el ángulo cuyo arco tiene la longitud igual al radio de una circunferencia centrada en el vértice. Como ya veremos el perímetro de una circunferencia es 2 R = 2 3'14 R=6'28 R es decir el perímetro de una circunferencia es aproximadamente 6 veces el radio de la circunferencia que nosotros diujemos. Por lo tanto en un giro completo hay 6'28 radianes, es decir: 1 revolución = 360º = 2 radianes Si hacemos una regla de tres: 360º 2 radianes xº 1 radián x = 360/2 = 57'29º En el caso de que tengamos que pasar de grados a radianes (o a la inversa) resolveremos una regla de tres, siempre dejando el valor de sin operar, por ejemplo: Cuántos radianes son 30º? 360º 2 radianes 30º x radianes x = 30 2 /360 = /6 radianes Cuántos grados son /4 radianes? 360º 2 radianes x /4 radianes x = (360 /4)/2 = 45º Expresión compleja y decimal de la medida de un ángulo sexagesimal La medida de un ángulo puede venir expresada en grados, minutos y segundos, o en una sola unidad: 8º 30' 36'' 8'51º Forma compleja Forma decimal Veamos como se pasa de una a otra: 8º 30' 36'' = 8º 30' 36/60' = 8º 30' 0'6' = 8º 30'6' = 8º 30'6/60º = 8º 0'51º = 8'51º 8'51º = 8º 0'51 60' = 8º 30'6' = 8º 30' 0'6 60'' = 8º 30' 36'' Operaciones con medidas de ángulos sexagesimales

6 a) Suma Para sumar ángulos deeremos sumar grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. 32º 15' 6'' +2º 8' 29' 34º 23' 35'' Si el resultado de alguna de estas sumas es mayor o igual que 60, lo pasamos a la unidad inmediatamente superior. 15º 20' 16'' +20º 30' 54'' 35º 50' 70'' Teniendo en cuenta que 70'' = 1' 10'' el resultado de la suma lo expresaríamos como: 35º 51' 10'' Importante: si la suma de dos ángulos es 90º, es decir, juntos forman un ángulo recto, se dice que son complementarios. Si la suma de dos ángulos es 180º, es decir, forman un ángulo llano, se dice que son suplementarios. ) Resta La operación se dispone igual que la suma 30º 31' 12'' -22' 48'' Puesto que no podemos restarle 48'' a 12'' deemos modificar el minuendo pasando 1 minuto a segundos: 30º 31' 12'' = 30º 30' 72'' Con lo cual ya podemos realizar la resta: c)multiplicación 30º 30' 72'' -22' 48'' 30º 8' 24'' Para multiplicar un ángulo por un número natural deemos multiplicar los grados minutos y segundos por ese número: 4º 20' 10'' x 5 20º 100' 50'' Ahora ien como 100' = 1º 40' se tiene que: 20º 100' 50'' = 21º 40' 50''

7 d) División Par dividir un ángulo entre un número natural, se dividen por separado grados, minutos y segundos entre este número natural: 206º 37' 46'' 5 06º 41º 19' 33'' 1ºx60 = 60' 97' 47' 2'x60 = 120'' 166'' 16 1'' Otra forma de operar con grados sexagesimales sería convertir los ángulos a grados solamente y operar con ellos, y después si se quiere convertirlo otra vez a grados minutos y segundos. 32º 15' 6'' = 32º + 15/60º + 6/3600º = 32º + 0'25º + 0'00166 = 32'25166º 2º 8' 29'' = 2º + 8/60º + 29/3600º = 2º + 0'133º + 0'00805º = 2'14105º 34'39271º 34º 0' = 23'5626' 0' = 35'' Por lo que otendríamos el mismo resultado: 34º 23' 35'' TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS Triángulos. Clasificación. Como ya vimos los triángulos son polígonos de 3 lados y por lo tanto 3 ángulos. Se pueden clasificar: a) Por sus lados: Equilátero, si tiene los tres lados iguales Isósceles, si tiene dos lados iguales Escaleno, si tiene los tres lados diferentes

8 ) Por sus ángulos: Rectángulo, si tiene un ángulo recto Acutángulo, si sus tres ángulos son agudos Otusángulo, si tiene un ángulo otuso En los triángulos rectángulos el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados, catetos. Propiedades del triángulo 1.En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos, pero mayor que su diferencia. a c En la figura se oserva que si a fuese mayor que +c entonces no podríamos juntar sus lados. Pero por otro lado a- tampoco puede ser mayor que c para que se puedan unir. a c a 2.La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Los lados alternos internos a las paralelas son iguales. Como por otro lado un ángulo llano mide 180º tenemos que a + + c = 180º 3.Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no a = + c a a c

9 adyacentes. Rectas y puntos notales de un triángulo Mediatrices: son las rectas perpendiculares trazadas en los puntos medios de los lados. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama circuncentro que equidista de los vértices del triángulo y por lo tanto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Bisectrices: son las semirrectas que dividen en dos partes iguales los ángulos interiores al triángulo. Las tres isectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro que equidista de los lados del triángulo y por lo tanto es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Alturas: son los segmentos perpendiculares a un lado o a su prolongación, trazados desde el vértice opuesto Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. Medianas: son los segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado aricentro o centro de gravedad.

10 Teorema de Pitágoras '' En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la a a 2 = 2 + c 2 hipotenusa '' c Cuadriláteros. Clasificación. Los cuadriláteros como su propio nomre indica son aquellos polígonos de cuatro lados y por lo tanto cuatro ángulos. Se clasifican según el paralelismo de sus lados en: 1.Trapezoides son los que no tienen ningún lado paralelo a otro. 2.Trapecios son los cuadriláteros con dos lados paralelos. Los trapecios se pueden clasificar en: - Trapecio rectángulo, es el que tiene dos ángulos rectos - Trapecio isósceles, es el que tiene los lados no paralelos iguales - Trapecio escaleno, sin ninguna propiedad específica 3.Paralelogramos son aquellos cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos y por lo tanto los ángulos opuestos (no adyacentes) son iguales y los lados opuestos son iguales. Los paralelogramos se pueden clasificar en: - Rectángulo, es el paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales (rectos), pero los lados adyacentes no son iguales. - Cuadrado, es el que tiene los 4 lados y 4 ángulos iguales. - Romo, es el que tiene los 4 lados iguales, y los ángulos opuestos iguales.

11 - Romoide, cuando no es ninguno de los anteriores. ÁREAS Y VOLÚMENES Cuadrado Rectángulo Triángulo l h h l A = l.l A =.h a A = P = 4 l P = h P = lados 2 Áreas de figuras planas Trapecio h B A = B h 2 P = lados D Romo d l A = D d 2 P = 4 l Romoide h a A = h P = a Polígono regular Círculo Sector circular a A = 6 l a = P a 2 2 P = 6 l l r A = r 2 P = 2 r n A = r n o P = r n o 360 Nota: en el caso del hexágono regular, se puede calcular el área como la suma de 6 triángulos equiláteros, en los demás polígonos regulares se podrá calcular como la suma de triángulos isósceles. Poliedros. Clasificación

12 Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por cuatro o más polígonos. Los polígonos que limitan al poliedro se llaman caras del poliedro, y los lados y vértices de las caras son las aristas y vértices del poliedro respectivamente. Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales y concurren el mismo número de ellas en cada vértice. Tetraedro (4 triángulos equiláteros) Octaedro (8 triángulos equiláteros) Cuo (6 cuadrados) Dodecaedro (12 pentágonos regulares) Solo existen 5 poliedros regulares que son: Icosaedro (20 triángulos equiláteros) Dentro de los poliedros podemos distinguir dos casos especiales: 1º) Prismas: son poliedros que tienen dos caras iguales y paralelas llamadas ases, y sus otras caras laterales son paralelogramos. Lógicamente tendrá tantas caras laterales como lados tenga la ase. Los prismas se clasifican en: a) Rectos y olicuos. Un prisma es recto cuando el ángulo entre las caras laterales y las ases es recto, en caso contrario se dice que el prisma es olicuo. ) Regulares e irregulares. Un prisma es regular cuando es recto y sus ases son polígonos regulares, en caso contrario se dice que el prisma es irregular. c) Por el número de lados de sus ases: -Triangulares, si sus ases son triángulos - Cuadrangulares, si sus ases son cuadriláteros - Pentagonales,...etc.

13 Uno de los prismas cuadrangulares más importante es el paralelepípedo que tiene por ases dos paralelogramos, es decir, todas sus caras (6) son paralelogramos. Dentro de los paralelepípedos podemos encontrar algunos casos importantes como son el cuo (todas sus caras son cuadrados), ortoedro (todas sus caras son rectángulos), romoedro (todas sus caras son romos) y romodiedro (todas sus caras son romoides). Veamos algunos ejemplos de prismas: Prisma recto pentagonal irregular Prisma olicuo cuadrangular(ase cuadrada) o tamién paralelepípedo olicuo Prisma recto triangular irregular Prisma cuadrangular(ase rectangular) regular(recto) o paralelepípedo recto Nota: no olvidar que si un prisma es regular entonces es recto y si es olicuo es irregular y por tanto no es necesario decirlo. Nota: La mejor forma de nomrarlos es: prisma recto de ase pentagonal irregular, prisma olicuo de ase cuadrada, prisma recto de ase triangular irregular y prisma recto de ase rectangular. 2º) Pirámides: son poliedros en los que una de sus caras (llamada ase) es un polígono y las otras caras laterales son triángulos que tienen un vértice común. Las pirámides se clasifican en: a) Rectas y olicuas. Una pirámide es recta cuando el pie de su altura coincide con el centro de su ase, o lo que es lo mismo, cuando las caras laterales no son triángulos escalenos. En caso contrario tendremos un pirámide olicua. ) Regulares e irregulares. Una pirámide es regular cuando es recta y su ase es un polígono regular. En caso contrario será irregular. c) Por el número de lados de su ase: - Triangular - Cuadrangular - Pentagonal,...etc.

14 Si una pirámide es cortada por un plano paralelo a la ase otendremos lo que se llama tronco de pirámide. Pirámide hexagonal regular Pirámide cuadrangular Tronco de pirámide Veamos algunos ejemplos de pirámides: (ase cuadrada) olicua Nota: la mejor forma de nomrarlos es: pirámide recta de ase hexagonal regular, pirámide olicua de ase cuadrada Cuerpos redondos o de revolución Un cuerpo redondo se otiene al girar un recinto plano alrededor de un eje situado en el mismo plano, de modo que cada punto del recinto descrie una circunferencia al dar una vuelta completa. Si un rectángulo gira sore un lado descrie un cilindro. Si un triángulo rectángulo gira sore un cateto descrie un cono. Si un semicírculo gira sore su diámetro descrie una circunferencia. Áreas laterales y volúmenes de los poliedros y cuerpos redondos V prisma = área de la ase altura = B h

15 V cilindro = área de la ase altura = B h = r 2 h V pirámide = 1/3.área de la ase.altura = B h 3 V cono = 1/3.área de la ase.altura = B h 3 = r 2 h 3 V esfera = r 3 3 Si la figura geométrica no es recta, si no que es olicua, las fórmulas siguen siendo válidas siempre y cuando se tenga claro cual es la altura de la figura que se está estudiando y no se confunde con alguna de las medidas de las áreas laterales. Lógicamente tamién es necesario recordar cuales son las áreas de las figuras planas más importantes, para poder calcular la ase de la figura geométrica. Para poder calcular el volumen de un tronco de pirámide o cono deeríamos calcular el volumen de la pirámide o cono mayor, menos el menor. A prisma = 2 A ase + A laterales A pirámide = A ase + A laterales A tronco de pirámide = A mayor + A menor + A laterales A cilindro = 2 r r h (en este caso h = g) A esfera = 4 r 2 A cono = r 2 + r g ya que g 2 r r 2 g r n = r/2 g = 360r/g Área sector circular = R 2 n/360 = g 2 360r/360g = rg n

16 Conceptos fundamentales Punto ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRÍA Recta Plano Semirrecta: porción de recta limitada en un extremo por un punto Semiplano: es cada una de las partes en que queda dividido un plano por una cualquiera de semiplano A sus rectas. semiplano B Segmento: porción de recta comprendida entre dos de sus puntos, llamados extremos. Rectas paralelas: son aquellas que pertenecen al mismo plano y no tienen ningún punto en A B común. Rectas secantes: son rectas que se cortan y dividen por tanto al plano en cuatro regiones. Un caso particular de rectas secantes son las perpendiculares, que dividen al plano en cuatro regiones iguales.

17 Mediatriz de un segmento: es la recta perpendicular trazada en su punto medio. Cualquier punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento. Ángulo: es una región del plano limitada por dos semirrectas, que se llaman lados, y que a lado vértice lado tienen un punto común que se llama vértice. Clasificación de los ángulos: - recto: cuando los dos lados son perpendiculares - agudo: la aertura de los lados es menor que un ángulo recto - otuso: la aertura de los lados es mayor que un ángulo recto Bisectriz de un ángulo: es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales. Cualquier punto de la isectriz equidista de los lados del ángulo. B D A Línea poligonal: es una figura formada por varios segmentos unidos por sus extremos. Cuando el extremo del último segmento coincide con el origen del primero, la línea poligonal se llama cerrada, y en caso de que no coincidan, aierta. C

18 A B D Polígono: es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Los elementos de los polígonos son: a) Lados: segmentos que limitan el polígono, AB, BC, CD, DA. ) Perímetro: suma de las longitudes de los lados. c) Vértices: Puntos donde se unen dos lados consecutivos, A, B, C, D. En todo polígono el nº de lados y vértices coincide. d) Diagonales: son los segmentos que unen vértices no consecutivos. e) Ángulos interiores: son los ángulos formados por lados consecutivos. f) Ángulos exteriores: son los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro consecutivo. C D A C B F Ángulo interior = ABC Ángulo exterior = CBF Clasificación de los polígonos: a) Por el número de lados: Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Eneágono Decágono

19 ) Por su forma: Equilátero: lados iguales Equiángulo: ángulos iguales Regular: lados y ángulos iguales Irregular: lados y ángulos desiguales Un polígono se halla inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices están contenidos el ella. Se dice entonces que la circunferencia está circunscrita al polígono. Cuadrilátero inscrito en la circunferencia Pentágono circunscrito a una circunferencia o circunferencia circunscrita al cuadrilátero o circunferencia inscrita en el pentágono Un polígono se halla circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes (tocan en un solo punto) a la misma. Se dice entonces que la circunferencia está inscrita en el polígono. Medida de ángulos Puesto que el ángulo recto resulta una medida demasiado grande para medir ángulos, se definen otro tipo de unidades: a) División sexagesimal La unidad que haitualmente se utiliza es el grado centesimal, que es la noventava parte de un ángulo recto. Por lo tanto una circunferencia tiene 4 ángulos rectos * 90º cada uno = 4 90 = 360º Minuto sexagesimal es la sesentava parte de un grado sexagesimal. 1º = 60' Segundo sexagesimal es la sesentava parte de un minuto sexagesimal. 1' = 60'' ) División centesimal (no se suele utilizar) La unidad es el grado centesimal, que es la centésima parte de un ángulo recto. Por lo tanto una circunferencia tiene 4 ángulos rectos *100 g = g = 400 g Minuto centesimal es la centésima parte de un grado centesimal. 1 g = 100 m Segundo centesimal es la centésima parte de un minuto centesimal. 1 m = 100 s c) Radián

20 Un radián es el ángulo cuyo arco tiene la longitud igual al radio de una circunferencia centrada en el vértice. Como ya veremos el perímetro de una circunferencia es 2 R = 2 3'14 R=6'28 R es decir el perímetro de una circunferencia es aproximadamente 6 veces el radio de la circunferencia que nosotros diujemos. Por lo tanto en un giro completo hay 6'28 radianes, es decir: 1 revolución = 360º = 2 radianes Si hacemos una regla de tres: 360º 2 radianes xº 1 radián x = 360/2 = 57'29º En el caso de que tengamos que pasar de grados a radianes (o a la inversa) resolveremos una regla de tres, siempre dejando el valor de sin operar, por ejemplo: Cuántos radianes son 30º? 360º 2 radianes 30º x radianes x = 30 2 /360 = /6 radianes Cuántos grados son /4 radianes? 360º 2 radianes x /4 radianes x = (360 /4)/2 = 45º Expresión compleja y decimal de la medida de un ángulo sexagesimal La medida de un ángulo puede venir expresada en grados, minutos y segundos, o en una sola unidad: 8º 30' 36'' 8'51º Forma compleja Forma decimal Veamos como se pasa de una a otra: 8º 30' 36'' = 8º 30' 36/60' = 8º 30' 0'6' = 8º 30'6' = 8º 30'6/60º = 8º 0'51º = 8'51º 8'51º = 8º 0'51 60' = 8º 30'6' = 8º 30' 0'6 60'' = 8º 30' 36''

21 Operaciones con medidas de ángulos sexagesimales a) Suma Para sumar ángulos deeremos sumar grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. 32º 15' 6'' +2º 8' 29' 34º 23' 35'' Si el resultado de alguna de estas sumas es mayor o igual que 60, lo pasamos a la unidad inmediatamente superior. 15º 20' 16'' +20º 30' 54'' 35º 50' 70'' Teniendo en cuenta que 70'' = 1' 10'' el resultado de la suma lo expresaríamos como: 35º 51' 10'' Importante: si la suma de dos ángulos es 90º, es decir, juntos forman un ángulo recto, se dice que son complementarios. Si la suma de dos ángulos es 180º, es decir, forman un ángulo llano, se dice que son suplementarios. ) Resta La operación se dispone igual que la suma 30º 31' 12'' -22' 48'' Puesto que no podemos restarle 48'' a 12'' deemos modificar el minuendo pasando 1 minuto a segundos: 30º 31' 12'' = 30º 30' 72'' Con lo cual ya podemos realizar la resta: c)multiplicación 30º 30' 72'' -22' 48'' 30º 8' 24'' Para multiplicar un ángulo por un número natural deemos multiplicar los grados minutos y segundos por ese número: 4º 20' 10'' x 5 20º 100' 50'' Ahora ien como 100' = 1º 40' se tiene que: 20º 100' 50'' = 21º 40' 50'' d) División Par dividir un ángulo entre un número natural, se dividen por separado grados, minutos y segundos entre este número natural:

22 206º 37' 46'' 5 06º 41º 19' 33'' 1ºx60 = 60' 97' 47' 2'x60 = 120'' 166'' 16 1'' Otra forma de operar con grados sexagesimales sería convertir los ángulos a grados solamente y operar con ellos, y después si se quiere convertirlo otra vez a grados minutos y segundos. 32º 15' 6'' = 32º + 15/60º + 6/3600º = 32º + 0'25º + 0'00166 = 32'25166º 2º 8' 29'' = 2º + 8/60º + 29/3600º = 2º + 0'133º + 0'00805º = 2'14105º 34'39271º 34º 0' = 23'5626' 0' = 35'' Por lo que otendríamos el mismo resultado: 34º 23' 35'' TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS Triángulos. Clasificación. Como ya vimos los triángulos son polígonos de 3 lados y por lo tanto 3 ángulos. Se pueden clasificar: a) Por sus lados: Equilátero, si tiene los tres lados iguales Isósceles, si tiene dos lados iguales Escaleno, si tiene los tres lados diferentes ) Por sus ángulos: Rectángulo, si tiene un ángulo recto Acutángulo, si sus tres ángulos son agudos

23 Otusángulo, si tiene un ángulo otuso En los triángulos rectángulos el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados, catetos. Propiedades del triángulo 1.En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos, pero mayor que su diferencia. a c En la figura se oserva que si a fuese mayor que +c entonces no podríamos juntar sus lados. Pero por otro lado a- tampoco puede ser mayor que c para que se puedan unir. a c a 2.La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Los lados alternos internos a las paralelas son iguales. Como por otro lado un ángulo llano mide 180º tenemos que a + + c = 180º 3.Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a = + c a a c Rectas y puntos notales de un triángulo Mediatrices: son las rectas perpendiculares trazadas en los puntos medios de los lados.

24 Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama circuncentro que equidista de los vértices del triángulo y por lo tanto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Bisectrices: son las semirrectas que dividen en dos partes iguales los ángulos interiores al triángulo. circunferencia inscrita al triángulo. Las tres isectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro que equidista de los lados del triángulo y por lo tanto es el centro de la Alturas: son los segmentos perpendiculares a un lado o a su prolongación, trazados desde el vértice opuesto Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. Medianas: son los segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado aricentro o centro de gravedad. Teorema de Pitágoras '' En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la a a 2 = 2 + c 2 hipotenusa '' c Cuadriláteros. Clasificación. Los cuadriláteros como su propio nomre indica son aquellos polígonos de cuatro lados y por lo tanto cuatro ángulos. Se clasifican según el paralelismo de sus lados en:

25 1.Trapezoides son los que no tienen ningún lado paralelo a otro. 2.Trapecios son los cuadriláteros con dos lados paralelos. Los trapecios se pueden clasificar en: - Trapecio rectángulo, es el que tiene dos ángulos rectos - Trapecio isósceles, es el que tiene los lados no paralelos iguales - Trapecio escaleno, sin ninguna propiedad específica 3.Paralelogramos son aquellos cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos y por lo tanto los ángulos opuestos (no adyacentes) son iguales y los lados opuestos son iguales. Los paralelogramos se pueden clasificar en: - Rectángulo, es el paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales (rectos), pero los lados adyacentes no son iguales. - Cuadrado, es el que tiene los 4 lados y 4 ángulos iguales. - Romo, es el que tiene los 4 lados iguales, y los ángulos opuestos iguales. - Romoide, cuando no es ninguno de los anteriores.

26 ÁREAS Y VOLÚMENES Cuadrado l Rectángulo h Triángulo h l A = l.l A =.h a A = P = 4 l P = h P = lados 2 Áreas de figuras planas Trapecio h B A = B h 2 P = lados D Romo d l A = D d 2 P = 4 l Romoide h a A = h P = a Polígono regular Círculo Sector circular a A = 6 l a = P a 2 2 P = 6 l l r A = r 2 P = 2 r n A = r n o P = r n o 360 Nota: en el caso del hexágono regular, se puede calcular el área como la suma de 6 triángulos equiláteros, en los demás polígonos regulares se podrá calcular como la suma de triángulos isósceles. Poliedros. Clasificación Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por cuatro o más polígonos. Los polígonos que limitan al poliedro se llaman caras del poliedro, y los lados y vértices de las caras son las aristas y vértices del poliedro respectivamente.

27 Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales y concurren el mismo número de ellas en cada vértice. Tetraedro (4 triángulos equiláteros) Octaedro (8 triángulos equiláteros) Cuo (6 cuadrados) Dodecaedro (12 pentágonos regulares) Solo existen 5 poliedros regulares que son: Icosaedro (20 triángulos equiláteros) Dentro de los poliedros podemos distinguir dos casos especiales: 1º) Prismas: son poliedros que tienen dos caras iguales y paralelas llamadas ases, y sus otras caras laterales son paralelogramos. Lógicamente tendrá tantas caras laterales como lados tenga la ase. Los prismas se clasifican en: a) Rectos y olicuos. Un prisma es recto cuando el ángulo entre las caras laterales y las ases es recto, en caso contrario se dice que el prisma es olicuo. ) Regulares e irregulares. Un prisma es regular cuando es recto y sus ases son polígonos regulares, en caso contrario se dice que el prisma es irregular. c) Por el número de lados de sus ases: -Triangulares, si sus ases son triángulos - Cuadrangulares, si sus ases son cuadriláteros - Pentagonales,...etc. Uno de los prismas cuadrangulares más importante es el paralelepípedo que tiene por ases dos paralelogramos, es decir, todas sus caras (6) son paralelogramos. Dentro de los paralelepípedos podemos encontrar algunos casos importantes como son el cuo (todas sus caras son cuadrados), ortoedro (todas sus caras son rectángulos), romoedro (todas sus caras son romos) y romodiedro (todas sus caras son romoides).

28 Veamos algunos ejemplos de prismas: Prisma recto pentagonal irregular Prisma olicuo cuadrangular(ase cuadrada) o tamién paralelepípedo olicuo Prisma recto triangular irregular Prisma cuadrangular(ase rectangular) regular(recto) o paralelepípedo recto Nota: no olvidar que si un prisma es regular entonces es recto y si es olicuo es irregular y por tanto no es necesario decirlo. Nota: La mejor forma de nomrarlos es: prisma recto de ase pentagonal irregular, prisma olicuo de ase cuadrada, prisma recto de ase triangular irregular y prisma recto de ase rectangular. 2º) Pirámides: son poliedros en los que una de sus caras (llamada ase) es un polígono y las otras caras laterales son triángulos que tienen un vértice común. Las pirámides se clasifican en: a) Rectas y olicuas. Una pirámide es recta cuando el pie de su altura coincide con el centro de su ase, o lo que es lo mismo, cuando las caras laterales no son triángulos escalenos. En caso contrario tendremos un pirámide olicua. ) Regulares e irregulares. Una pirámide es regular cuando es recta y su ase es un polígono regular. En caso contrario será irregular. c) Por el número de lados de su ase: - Triangular - Cuadrangular - Pentagonal,...etc. Si una pirámide es cortada por un plano paralelo a la ase otendremos lo que se llama tronco de pirámide.

29 Pirámide hexagonal regular Pirámide cuadrangular Tronco de pirámide Veamos algunos ejemplos de pirámides: (ase cuadrada) olicua Nota: la mejor forma de nomrarlos es: pirámide recta de ase hexagonal regular, pirámide olicua de ase cuadrada Cuerpos redondos o de revolución Un cuerpo redondo se otiene al girar un recinto plano alrededor de un eje situado en el mismo plano, de modo que cada punto del recinto descrie una circunferencia al dar una vuelta completa. Si un rectángulo gira sore un lado descrie un cilindro. Si un triángulo rectángulo gira sore un cateto descrie un cono. Si un semicírculo gira sore su diámetro descrie una circunferencia. Áreas laterales y volúmenes de los poliedros y cuerpos redondos V prisma = área de la ase altura = B h V cilindro = área de la ase altura = B h = r 2 h

30 V pirámide = 1/3.área de la ase.altura = B h 3 V cono = 1/3.área de la ase.altura = B h 3 = r 2 h 3 V esfera = r 3 3 Si la figura geométrica no es recta, si no que es olicua, las fórmulas siguen siendo válidas siempre y cuando se tenga claro cual es la altura de la figura que se está estudiando y no se confunde con alguna de las medidas de las áreas laterales. Lógicamente tamién es necesario recordar cuales son las áreas de las figuras planas más importantes, para poder calcular la ase de la figura geométrica. Para poder calcular el volumen de un tronco de pirámide o cono deeríamos calcular el volumen de la pirámide o cono mayor, menos el menor. A prisma = 2 A ase + A laterales A pirámide = A ase + A laterales A tronco de pirámide = A mayor + A menor + A laterales A cilindro = 2 r r h (en este caso h = g) A esfera = 4 r 2 A cono = r 2 + r g ya que g 2 r r 2 g r n = r/2 g = 360r/g Área sector circular = R 2 n/360 = g 2 360r/360g = rg n