Contenidos. Tema 2: Conceptos estadísticos fundamentales. Distribuciones de frecuencias unidimensionalales. Enfoques de la Estadística

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1 Contenidos Tema 2: Conceptos estadísticos fundamentales. Distribuciones de frecuencias unidimensionalales. Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Departamento de Estadística e Investigación Operativa Universidad de Sevilla Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 1/74 1 Conceptos básicos 2 Caracteres Variables Estadísticas 3 4 para variables cualitativas Diagramas de rectángulos Diagramas de sectores para variables cuantitativas Diagramas de barras Histogramas Polígono de frecuencias Curva acumulativa Pictogramas Cartogramas Gráficas temporales Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 2/74 Concepto de Estadística Conceptos básicos Enfoques de la Estadística Conceptos básicos Inicialmente la Estadística se limitaba a realizar tareas de recopilación y recuento de datos. En la actualidad, y debido al avance general de las ciencias, se ha producido una gran ampliación de los objetivos iniciales de la Estadística, convirtiéndose en una disciplina en sí misma. Estadística Descriptiva Objetivo: Tratamiento o análisis de los datos provenientes de un colectivo, ya sea considerado como población total, ya sea considerado como una parte de dicha población, con el objeto de describir o resaltar una serie de características en relación a su estructura. Definición de Estadística La Estadística es la ciencia que trata la teoría y aplicación de métodos apropiados para coleccionar, representar, resumir y analizar datos, así como realizar inferencias a partir de los mismos. Dicha descripción se refiere, básicamente, a los datos que han sido analizados, sin pretender extender las conclusiones que puedan extraerse a otros colectivos distintos o más amplios. Básicamente, la Estadística Descriptiva coincide, en sus métodos y objetivos, con lo que actualmente se denomina Análisis de Datos. Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 3/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 4/74

2 Enfoques de la Estadística Conceptos básicos Conceptos básicos Estadística Inferencial Objetivo: Desarrollo y estudio de técnicas que permitan la realización de inferencias acerca de una población a partir del estudio de una parte de la misma. Es decir, inducir o extraer conclusiones de un colectivo mediante la observación de una parte más reducida, que denominamos muestra. En todo proceso inferencial se cometen errores inherentes al método inductivo (de lo particular a lo general), siendo necesario disponer de medidas de la precisión de las conclusiones obtenidas Estas medidas de precisión son proporcionadas por el Cálculo de Probabilidades. Población: Es el conjunto de elementos, objetivo de la investigación estadística que se pretenda realizar. Individuo o Unidad Estadística: Cada uno de los elementos de la población. Muestra: Subconjunto de la población. Es la base que emplea la Estadística Inferencial para extraer conclusiones sobre la población, ahorrándonos el estudio de la población completa. La muestra ha de ser lo más representativa posible. Carácter: Es aquella propiedad o cualidad de los individuos que es objeto de observación en el estudio. Modalidad: Diferentes posibilidades o variantes de un carácter. Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 5/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 6/74 Ejemplo Conceptos básicos Clasificación de caracteres Caracteres Variables Estadísticas POBLACIÓN: Alumnos de la Universidad de Sevilla. INDIVIDUOS: Cada uno de los alumnos de la Universidad de Sevilla MUESTRA: 30 alumnos de primer curso del Grado en RRLL y Recursos Humanos. 20 alumnos de cada curso de la Facultad de Ciencias del Trabajo. 5 de cada curso de cada una de las facultades de la Universidad de Sevilla. CARACTERES: Sexo, carrera que estudia, curso, número de hijos, perímetro craneano en cm. MODALIDADES: Sexo: hombre, mujer. Carrera: Física, Derecho, Medicina, Estadística, etc. Curso: primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto, doctorado. Número de hijos: 0,1,2,3,... Perímetro craneano: Intervalo de números reales. Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 7/74 Tipos de caracteres Cuantitativos: Aquellos que son medibles o numéricamente cuantificables. Ejemplo: número de hijos o perímetro craneano. Cualitativos: Aquellos que no son susceptibles de medida. También se denominan atributos. Ejemplo: sexo o estado civil. Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 8/74

3 Variables estadísticas Caracteres Variables Estadísticas Caracteres Variables Estadísticas Notación Variable estadística: es el conjunto de valores, numéricos o no, observados sobre un conjunto de individuos a partir de un determinado carácter. Pueden ser cuantitativas y cualitativas. Las variables estadísticas se representan con mayúsculas como X, Y, Z, etc. Sus valores se representan usando la misma letra (en minúscula) con subíndices: x 1, x 2,... Clasificación de las variables cuantitativas Discretas: Entre dos modalidades consecutivas no es posible la existencia de otra modalidad. Ejemplo: Número de hijos. Continuas: Entre dos modalidades cualesquiera siempre es posible encontrar una modalidad intermedia. Ejemplo: Perímetro craneal. Ejemplo Si una variable estadística, X, por ejemplo la edad, se ha observado en un conjunto de 70 personas, las 70 edades observadas serán los valores que toma o asume dicha variable, y se denotarán, de forma simbólica, como x 1, x 2, x 3, etc. etc. hasta x 70. Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 9/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 10/74 Datos Resúmenes Transformaciones reductivas La investigación de un colectivo, población completa o muestra, proporciona un conjunto más o menos extenso de datos, que pretendemos estudiar con la finalidad de abarcar la naturaleza de dicho colectivo, en relación a las características que nos interesan. Tenemos una masa de información, usualmente grande, lo que obliga a realizar sobre la misma diversas transformaciones de tipo reductivo, que permitan captar estructuras y patrones latentes, que de otra forma permanecen ocultos a nuestra percepción. Estas transformaciones producen como resultado final una serie de objetos o resúmenes, de interpretación más inmediata. Clasificación. MASA DE DATOS RESUMEN. Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 11/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 12/74

4 .. Frecuencias Ordenación y reducción El primer paso en el estudio estadístico descriptivo es la construcción de tablas u otros tipos de esquemas que permitan resumir y ordenar la estructura de dichos datos, facilitando la posterior extracción de conclusiones. Concepto fundamental El número de individuos que presentan la modalidad x i de denomina frecuencia absoluta de dicha modalidad, y se denota n i. Se verifica: k n i = n i=1 Notación Se dispone de una variable estadística, X, que toma n valores, procedentes de la observación de un carácter sobre n individuos. Esta variable puede ser tanto cualitativa como cuantitativa, y supondremos que presenta k modalidades distintas, que denotamos x 1, x 2,..., x k. Modalidades Frecuencias absolutas x 1 n 1 x 2 n 2.. x k n k n Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 13/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 14/74 Frecuencias relativas y acumuladas. Porcentajes Distribución de frecuencias El conjunto de valores x 1, x 2,..., x k, junto con sus correspondientes frecuencias n 1, n 2,..., n k, determinan una distribución de frecuencias. Observación Si las modalidades son numéricas (valores), éstas se disponen ordenadas de menor a mayor. En caso contrario, se disponen de forma arbitraria. Frecuencias absolutas: n i Frecuencias relativas: f i = n i /n Frecuencias acumuladas absolutas: N 1 = n 1 N 2 = n 1 + n 2 = N 1 + n 2 N 3 = n 1 + n 2 + n 3 = N 2 + n 3 N 4 = n 1 + n 2 + n 3 + n 4 = N 3 + n 4... y así sucesivamente... Frecuencias acumuladas relativas: F i = N i /n Porcentajes: p i = 100 f i Porcentajes acumulados: P i = 100 F i Observación Las frecuencias acumuladas sólo tienen sentido en el caso de variables cuantitativas, con valores ordenados de forma creciente. Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 15/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 16/74

5 Ejemplo Se han estudiado 150 familias con hijos, observando para cada una el número de los mismos. Los datos obtenidos son los siguientes: Tabla de frecuencias x i n i f i N i F i p i ( %) P i ( %) / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 17/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 18/74 Agrupación en intervalos o clases Tabla de frecuencias. Cálculos completos. x i n i f i N i F i p i ( %) P i ( %) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Si la variable es cuantitativa y presenta una gran cantidad de valores distintos, la tabla de frecuencias resultante podría ser tabla inmanejable por su gran extensión. En tal caso los valores se agrupan en clases o intervalos, usualmente de la forma (a, b], que actúan como modalidades. Intervalo (a, b] Está constituido por los valores mayores estrictamente que a y menores o iguales que b. Por ejemplo, un intervalo de edades de la forma (20, 25] incluiría todas las edades de personas de más de 20 años y menores o iguales de 25. Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 19/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 20/74

6 Intervalos y marcas de clase Ejemplo Los siguientes valores proceden de una prueba de evaluación realizada sobre 175 estudiantes. Su rango de valores es el intervalo [0, 100]. Notaremos por (L i 1, L i ] el intervalo que representa la modalidad i-ésima. Se asocia a cada modalidad un valor representativo de la misma, denominado marca de clase, que se denota x i, y que usualmente es el punto medio del intervalo: x i = L i 1 + L i Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 21/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 22/74 Estos datos presentan una gran cantidad de valores distintos. Por ello, la tabla de frecuencias se realizará agrupando los datos en intervalos, obteniéndose (por ejemplo): Tabla de frecuencias. Cálculos completos. Tabla de frecuencias (L i 1, L i ] x i n i N i f i F i (46 5, 55 5] /175 11/175 (55 5, 64 5] /175 27/175 (64 5, 73 5] /175 66/175 (73 5, 82 5] / /175 (82 5, 91 5] / /175 (91 5, 100 5] / / (L i 1, L i ] x i n i N i f i F i p i P i (46 5, 55 5] , , , 286 6, 286 (55 5, 64 5] , , , , 429 (64 5, 73 5] , , , , 714 (73 5, 82 5] , , , , 714 (82 5, 91 5] , , , , 714 (91 5, 100 5] , , , , Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 23/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 24/74

7 para variables cualitativas para variables cuantitativas Observación importante No hay reglas fijas para decidir el número y estructura de los intervalos. Recomendaciones: 1 Usar intervalos de la misma amplitud. 2 El número de intervalos no debe ser muy grande, para que la tabla resultante sea manejable. 3 El número de intervalos no debe ser muy pequeño, para que no se pierda demasiada información. Observación Es también posible emplear intervalos de la forma [a, b). Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 25/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 26/74 para variables cualitativas para variables cuantitativas según el tipo de datos para variables cualitativas para variables cuantitativas Impacto visual Variables cualitativas: Diagrama de rectángulos Diagrama de sectores Los resúmenes o representaciones gráficas producen un impacto visual que permite captar rápidamente y sin gran esfuerzo las principales características de un conjunto de datos. Son un medio complementario aunque muy importante para realizar un análisis estadístico de los datos. Un análisis estadístico no debe estar basado exclusivamente en gráficas. Variables cuantitativas con datos no agrupados en intervalos: Diagrama de barras Polígono de frecuencias Curva acumulativa Variables cuantitativas con datos agrupados en intervalos: Histograma Polígono de frecuencias Curva acumulativa Otros gráficos: Pictograma Cartograma Gráficos temporales Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 27/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 28/74

8 para variables cualitativas para variables cuantitativas Diagramas de rectángulos para variables cualitativas para variables cuantitativas para variables cualitativas Representación gráfica para variables cualitativas. Cada modalidad se representa mediante una barra o rectángulo. La longitud de cada rectángulo es igual o proporcional a la frecuencia de la modalidad a que representa. Los rectángulos pueden representarse en horizontal (diagrama de barras) o en vertical (diagrama de columnas). Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 29/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 30/74 Diagrama de barras para variables cualitativas para variables cuantitativas para variables cualitativas para variables cuantitativas En vertical aparecen las modalidades, x i. Las longitudes de las barras de las modalidades son proporcionales a sus frecuencias. Observación En principio, es indiferente emplear frecuencias absolutas o relativas, pues unas y otras son proporcionales entre si. x i Sin embargo, si se utiliza esta representación para comparar el comportamiento de una variable sobre diferentes conjuntos de individuos con diferentes tamaños, deben emplearse frecuencias relativas. f i, n i o cantidades proporcionales Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 31/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 32/74

9 para variables cualitativas para variables cuantitativas para variables cualitativas para variables cuantitativas Ejemplo PREFERENCIAS DE OCIO. VARONES Ejemplo Se ha preguntado a un grupo de 100 varones, y a un grupo de 143 mujeres, sobre sus preferencias de ocio, siendo las modalidades los siguientes espectáculos: CINE, TEATRO, MÚSICA y FÚTBOL. Una vez recogidos los datos se han contado, clasificado y tabulado, obteniéndose los siguientes resúmenes, diferenciados por sexo. ESPECTÁCULOS n i f i CINE TEATRO MÚSICA FÚTBOL PREFERENCIAS DE OCIO. MUJERES ESPECTÁCULOS n i f i CINE TEATRO MÚSICA FÚTBOL Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 33/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 34/74 para variables cualitativas para variables cuantitativas Diagrama de barras. Preferencias del grupo de varones. para variables cualitativas para variables cuantitativas Diagrama de barras apiladas. Preferencias de varones y mujeres. Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 35/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 36/74

10 Diagramas de sectores para variables cualitativas para variables cuantitativas para variables cualitativas para variables cuantitativas Construción Sobre un círculo, se dibujan sectores circulares de amplitud proporcional a las frecuencia de cada modalidad. Es indiferente emplear frecuencias absolutas o relativas. La amplitud en grados sexagesimales correspondiente a cada modalidad se calcula mediante la fórmula α i = f i 360 o Ejemplo. Preferencias de ocio. Varones. ESPECTÁCULOS n i f i α i = f i 360 o CINE o TEATRO o MÚSICA o FÚTBOL o o Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 37/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 38/74 para variables cualitativas para variables cuantitativas Diagrama de sectores. Preferencias de varones y mujeres. Observación para variables cualitativas para variables cuantitativas Aunque los diagramas de rectángulos y sectores son específicos para variables cualitativas, es posible aplicarlos a variables cuantitativas, incluso continuas. (L i 1, L i ] x i n i N i f i F i p i ( %) P i ( %) (46 5, 55 5] , , , 286 6, 286 (55 5, 64 5] , , , , 429 (64 5, 73 5] , , , , 714 (73 5, 82 5] , , , , 714 (82 5, 91 5] , , , , 714 (91 5, 100 5] , , , , Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 39/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 40/74

11 para variables cualitativas para variables cuantitativas Diagrama de barras. Puntuaciones de 175 estudiantes. para variables cualitativas para variables cuantitativas para variables cuantitativas Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 41/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 42/74 para variables cualitativas para variables cuantitativas Diagramas de barras para variables cualitativas para variables cuantitativas Agrupar o no agrupar. Esta es la cuestión. Las variables cuantitativas pueden ser discretas o continuas. Desde el punto de vista de la Estadística Descriptiva, nos interesa más saber si los datos se agrupan en intervalos o no. Los datos se agruparán en intervalos cuando el número de valores distintos sea elevado (aunque la variable sea discreta). Los datos NO se agruparán en intervalos cuando el número de valores distintos sea reducido (aunque la variable sea continua). Específicos para datos no agrupados en intervalos. En el eje de abscisas (horizontal) se sitúan los valores de la variable. Sobre cada uno de ellos se levanta una barra perpendicular al eje, de altura igual o proporcional a su frecuencia (absoluta o relativa). Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 43/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 44/74

12 para variables cualitativas para variables cuantitativas Diagrama de barras para una variable cuantitativa para variables cualitativas para variables cuantitativas Variaciones Sobre este esquema básico existen numerosas variaciones: n 2 n k n 1 n 3 Se pueden considerar líneas o barras finas de diferentes colores. Se pueden comparar diferentes conjuntos de datos mediante diagramas de barras adheridas o apiladas.... Las frecuencias absolutas pueden no ser apropiadas para realizar comparaciones (recuérdese lo dicho para los diagramas de rectángulos). x 1 x 2 x 3 x k Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 45/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 46/74 para variables cualitativas para variables cuantitativas Diagrama de barras para el número de hijos de 150 familias. Las alturas de las barras son las frecuencias n i. Histogramas para variables cualitativas para variables cuantitativas Específicos para datos agrupados en intervalos. En el eje de abscisas (horizontal) se sitúan los intervalos. Sobre cada uno de ellos se levanta un rectángulo, cuya superficie es igual o proporcional a la frecuencia (absoluta o relativa) del intervalo. Si, por ejemplo, queremos que las áreas de los rectángulos coincidan con las frecuencias absolutas, la altura h i del rectángulo sobre el intervalo (L i 1, L i ] de amplitud a i será tal que n i = a i h i y, por tanto, h i = n i /a i i = 1, 2,..., k Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 47/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 48/74

13 para variables cualitativas para variables cuantitativas Histograma para una variable cuantitativa agrupada para variables cualitativas para variables cuantitativas Observaciones Si todos los intervalos son de igual amplitud, se pueden tomar las alturas directamente iguales a las frecuencias. A veces, la aplicación rigurosa de la fórmula, bajo una determinada escala, da lugar a gráficos poco estéticos (muy aplastados o muy estirados en vertical). Se puede entonces introducir un factor de proporcionalidad que produzca una gráfica más proporcionada. L 0 L 1 L 2 L k Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 49/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 50/74 para variables cualitativas para variables cuantitativas Histograma para las puntuaciones de 175 estudiantes, agrupados en intervalos. Polígono de frecuencias para variables cualitativas para variables cuantitativas Polígono de frecuencias Se puede construir tanto para variables no agrupadas como agrupadas en intervalos, y tanto con frecuencias absolutas como relativas. Nosotros lo veremos con frecuencias absolutas. Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 51/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 52/74

14 para variables cualitativas para variables cuantitativas Polígono de frecuencias. Variables no agrupadas en intervalos para variables cualitativas para variables cuantitativas Polígono de frecuencias para una variable no agrupada en intervalos Polígono de frecuencias (datos no agrupados) Se construye a partir del diagrama de barras, uniendo los extremos superiores de las barras mediante segmentos rectos. El resultado es una línea poligonal que une los puntos (x 1, n 1 ), (x 2, n 2 ),...,(x k, n k ). x 1 x 2 x i x k Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 53/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 54/74 para variables cualitativas para variables cuantitativas Polígono de frecuencias. Número de hijos de 150 familias. para variables cualitativas para variables cuantitativas Polígono de frecuencias. Variables agrupadas en intervalos. Polígono de frecuencias (datos agrupados en intervalos) Se construye a partir del histograma, uniendo los puntos medios de las caras superiores de los rectángulos mediante segmentos rectos. El resultado es una línea poligonal que une los puntos (x 1, h 1 ), (x 2, h 2 ),...,(x k, h k ). (Recordemos que h i representa la altura de los rectángulos del histograma) Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 55/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 56/74

15 para variables cualitativas para variables cuantitativas Polígono de frecuencias para una variable agrupada en intervalos para variables cualitativas para variables cuantitativas Polígono de frecuencias para las puntuaciones de 175 estudiantes. L 0 L 1 L 2 L k Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 57/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 58/74 Curva acumulativa para variables cualitativas para variables cuantitativas para variables cualitativas para variables cuantitativas Curva acumulativa. Variables no agrupadas en intervalos Curva acumulativa (datos no agrupados en intervalos) Curva acumulativa Este gráfico pretende plasmar visualmente la acumulación de la frecuencia, al aumentar los valores de la variable. Usualmente emplea frecuencias relativas acumuladas (F i ), y se puede realizar tanto para variables no agrupadas como agrupadas en intervalos. Es imprescindible que los valores de la variable hayan sido ordenados de menor a mayor. Se obtiene dibujando segmentos horizontales entre los valores x 1, x 2,...,x k, y a diferentes alturas F 1, F 2, etc. El primer segmento une (x 1, F 1 ) con (x 2, F 1 ), el segundo, (x 2, F 2 ) con (x 3, F 3 ) y así sucesivamente. Antes de x 1 toma el valor 0, y a partir de x k toma el valor 1. Se obtiene una línea poligonal discontinua y creciente, cuyo crecimiento indica la forma en que se distribuyen las observaciones en los distintos valores de la variable. Puntos de gran crecimiento se corresponden con observaciones más frecuentes. Esta línea es la representación de una función matemática que denotamos F(x). Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 59/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 60/74

16 para variables cualitativas para variables cuantitativas Curva acumulativa. Variables no agrupadas en intervalos para variables cualitativas para variables cuantitativas Curva acumulativa. Variables no agrupadas en intervalos F(x) Observación 1 [ Recuérdese que: F 2 [ ) [ ) El extremo abierto, ), indica que el segmento NO llega al extremo. F 1 [ ) El extremo cerrado, [, indica que el segmento SÍ llega al extremo. ) x 1 x 2 x 3 x k Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 61/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 62/74 para variables cualitativas para variables cuantitativas Curva acumulativa. Variables agrupadas en intervalos para variables cualitativas para variables cuantitativas Curva acumulativa. Variables agrupadas en intervalos Curva acumulativa (datos agrupados en intervalos) Se asume que las observaciones se distribuyen uniformemente en los intervalos, por lo que la acumulación está exenta de discontinuidades. Se construye uniendo mediante segmentos rectilíneos los puntos (L 0, 0), (L 1, F 1 ), (L 2, F 2 ),, (L k 1, F k 1 ), (L k, 1) Antes de L 0 toma el valor 0, y a partir de L k toma el valor 1. Se obtiene una línea poligonal continua y creciente, cuyo crecimiento indica la forma en que se distribuyen las observaciones en los distintos intervalos. La función de distribución, F(x) Para un valor x cualquiera, F(x) es la frecuencia relativa o proporción de individuos cuyo valor de la variable en estudio es menor o igual que x. En el ejemplo de las puntuaciones de 175 estudiantes, F(67 5) es la frecuencia relativa o proporción de estudiantes que han obtenido 67 5 o menos. Esta línea es la representación de una función matemática que denotamos, como en el caso anterior, F(x). Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 63/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 64/74

17 para variables cualitativas para variables cuantitativas para variables cualitativas para variables cuantitativas Observación Obsérvese la continuidad y su carácter creciente. F(x) 1 F 3 F 2 F 1 L 0 L 1 L 2 L k Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 65/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 66/74 para variables cualitativas para variables cuantitativas Pictogramas para variables cualitativas para variables cuantitativas Pictogramas Cartogramas Gráficas temporales Pictogramas Estos gráficos utilizan figuras relacionadas con el fenómeno en estudio, de forma que su tamaño o su número indique la frecuencia de cada modalidad. Ejemplo Supongamos que se ha estudiado el número de reclusos en tres prisiones, denominadas PRISIÓN A, PRISIÓN B y PRISIÓN C, obteniéndose: PRISIÓN Reclusos A 495 B 2456 C 1567 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 67/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 68/74

18 para variables cualitativas para variables cuantitativas Pictograma de la población reclusa en las prisiones A, B y C Cartogramas para variables cualitativas para variables cuantitativas Cartograma Sobre un mapa se indica, para cada región geográfica, la frecuencia o intensidad de la característica en estudio, empleando para ello colores, tramas o también valores numéricos. Ejemplo El siguiente cartograma representa el porcentaje de aulas de enseñanza concertada sobre el total de la enseñanza privada en las diferentes comunidades autónomas. Fuente: Boletín Informativo elaborado por el Instituto Nacional de Estadística en Junio de 2002, sobre la enseñanza privada en España. Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 69/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 70/74 para variables cualitativas para variables cuantitativas Cartograma. Porcentajes de aulas de enseñanza privada concertada sobre el total de la enseñanza privada. I.N.E. Junio 2002 para variables cualitativas para variables cuantitativas Observación Los pictogramas y cartogramas son representaciones gráficas poco rigurosas y exactas. Este problema puede eliminarse en parte acompañando el gráfico de los valores numéricos, como en el ejemplo anterior. Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 71/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 72/74

19 Gráficas temporales para variables cualitativas para variables cuantitativas Estudio sociológico. Fuente: El País 9/11/2003 para variables cualitativas para variables cuantitativas Se emplean para representar la evolución de una magnitud en el tiempo. Esta magnitud puede ser un índice de precios, una frecuencia, o cualquier otra cantidad. Son muy usuales en los medios de comunicación, como prensa o televisión, y permiten captar rápidamente el devenir temporal de un fenómeno. Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 73/74 Experto Universitario en Criminalidad y Seguridad Pública Estadística Criminal TEMA 2 74/74