1.- CONCEPTO DE ESTADÍSTICA 2.- TABLA ESTADÍSTICA Y PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

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1 TEMA 6.- ESTADÍSTICA 1.- CONCEPTO DE ESTADÍSTICA Considera el conjunto formado por todos los alumnos del instituto. Supongamos que queremos estudiar, por ejemplo, el color del pelo, la estatura ó el nº de hermanos. Tomamos 100 alumnos. En Estadística, el conjunto formado por todos los alumnos del instituto se llama población y el subconjunto de los 100 alumnos se llama muestra. Se dice que el tamaño de la muestra es 100. Las características que queremos estudiar (color del pelo, estatura, nº de hermanos) se llaman caracteres estadísticos. En general: Población oblación: Es el conjunto de todos los elementos que vamos a estudiar Muestra: Es cualquier subconjunto de la población. El número de elementos de la muestra se llama tamaño de la muestra. Carácter estadístico adístico: Es una propiedad que permite clasificar a los elementos de una población Hay tipos de caracteres estadísticos: Cuantitativos : Si se pueden medir (p.ej. estatura, nº de hermanos) Cualitativos : Si no se pueden medir (p.ej. el color del pelo) Hay tipos de caracteres estadísticos cuantitativos: Discretos : Si pueden tomar un nº finito de valores (p.ej. el nº de hermanos) Continuos : Si pueden tomar todos los valores entre dos valores dados (p.ej. la estatura) Se llama variable estadística al conjunto de todos los valores que toma un carácter estadístico cuantitativo. Las variables estadísticas se suelen representar con las letras X, Y, etc. Por ejemplo, Si X = nº de hermanos y suponemos que sólo hay alumnos con 0, 1,, 3 ó 4 hermanos, entonces X = {0,1,,3,4} En general, los valores de una variable estadística, X, se suelen representar por x 1, x, x 3, Supón que sólo estamos estudiando el nº de hermanos - Si nos limitamos a analizar sólo los datos que obtenemos estaremos aplicando lo que se llama estadística descriptiva - Si, a partir de los datos de la muestra, queremos deducir o inferir propiedades de la población estaremos aplicando lo que se llama estadística inferencial. En general: La estadística descriptiva trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos en una observación. Para ello se construyen tablas y se representan gráficos que permiten simplificar los datos y se calculan parámetros estadísticos que permiten analizar dichos datos. La estadística inferencial plantea y resuelve el problema de establecer previsiones y conclusiones generales sobre una población a partir de los resultados obtenidos de una muestra..- TABLA ESTADÍSTICA Y PARÁMETROS ESTADÍSTICOS Veamos como se pueden organizar y analizar los datos obtenidos en una observación. Considera el siguiente ejemplo: " Las notas de los alumnos de una clase en un examen son: 5, 6, 9,, 7, 9, 4, 5, 8, 6, 8, 0,, 7, 8, 8, 7, 8, 9, 5, 3, 8, 6, 5 " Tenemos entonces la variable estadística X = notas de los alumnos ; X = 0,,3,4,5,6,7,8,9 Vamos a formar la siguiente tabla estadística x i f i x i f i x i fi Total N = x i = son los valores de la variable X (en la tabla se ordenan de menor a mayor) f i = indica el nº de veces que se repite el valor x i (se llama frecuencia absoluta de x i ) N = nº total de datos A partir de la tabla podemos calcular los siguientes parámetros estadísticos: x f i i La media aritmética: x =. En nuestro ejemplo, x = 145 N 4 ; x = 6,04 xi f i La varianza: s = x. En nuestro ejemplo, s = 1015 N 4 6,04 ; s = 5,81 La desviación típica: s = s (raíz cuadrada de la varianza). En nuestro ejemplo, s = 5,81 =,41 Nota: La varianza también se puede calcular por la fórmula s (x i x) f i =, pero suele ser más práctico usar la otra fórmula N Cuanto mayor es la desviación típica más separados o dispersos están los datos con respecto a la media

2 Por qué recurrimos a las muestras? Hay varios motivos: - La población es muy numerosa. Por ejemplo, los españoles que pueden votar - La población es muy difícil de controlar. Por ejemplo, la totalidad de las personas que acuden a un centro comercial un fin de semana - El proceso de medición es destructivo. Por ejemplo, cuando queremos saber la vida media de las bombillas que hay en un almacén, no parece lógico probar todas las bombillas. - Queremos conocer rápidamente datos de una población. Consultar a todos los individuos llevaría mucho tiempo Si no nos dicen lo contrario, las muestras aleatorias se toman con reemplazamiento. Vamos a estudiar dos tipos de muestreos aleatorios: 3.- MUESTREOS ALEATORIOS Se construye una tabla como la siguiente: Estratos E 1 E E 3 Total Nº de elementos de la muestra x y z n Nº de elementos de la población N 1 N N 3 N El nº de elementos x, y, z deben ser proporcionales a N 1, N y N 3 Luego x y z n = = = N N N N 1 3 Ejercicio 1 En un I.E.S. hay alumnos en º de Bachillerato provenientes de 3 zonas o pueblos: Zona A: 60 alumnos, Zona B: 4 alumnos Zona C: 36 alumnos Hay que elegir una muestra mediante muestreo aleatorio estratificado de 0 alumnos para hacerles una serie de preguntas. Cuántos alumnos hay que tomar de cada zona? (A) Muestreo aleatorio simple: Consiste en tomar al azar unos pocos elementos de la población. Por ejemplo, si tenemos 0 tornillos en una caja y queremos extraer una muestra aleatoria de tamaño 3, extraemos con reemplazamiento al azar 3 tornillos de la caja. (B) Muestreo aleatorio estratificado: Se utiliza cuando la población se puede dividir en grupos (por ejemplo, menores de edad, jubilados y el resto) El muestreo estratificado consiste en dividir la población en grupos, llamados estratos, y tomar aleatoriamente en cada estrato una muestra proporcional al nº de elementos del estrato. Suponiendo que la población la podemos dividir en 3 estratos (E 1,E,E 3 ), procedemos así: Ejercicio a) Sea la población {1, 5, 7}. Escriba todas las muestras de tamaño, mediante muestreo aleatorio simple, y calcule la varianza de las medias muestrales. b) De una población de 300 hombres y 00 mujeres se desea seleccionar, mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional, una muestra de tamaño 30 distribuida en los dos estratos, cuál será la composición de la muestra? (Propuesto para selectividad Andalucía 006) Ejercicio 3 Sea la población de elementos {, 4, 6} a) Escriba todas las muestras posibles de tamaño, escogidas mediante muestreo aleatorio simple. b) Calcule la varianza de la población. c) Calcule la varianza de las medias muestrales. (Propuesto y puesto en selectividad Andalucía 005) ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO 1 Las temperaturas mínimas en una ciudad durante 16 días: 1º, 14º, 1º, 10º, 11º, 10º, 1º, 13º, 11º, 1º, 14º, 11º, 13º, 13º, 1º, 1º. Halla la desviación típica. [ Solución: 1,176 ] a) En una población hay 100 personas: 60 mujeres y 40 hombres. Se desea seleccionar una muestra de tamaño 5 mediante muestreo estratificado con afijación proporcional. Qué composición tendrá dicha muestra? b) En la población formada por los números, 4, 6 y 8, describa las posibles muestras de tamaño seleccionadas por muestreo aleatorio simple, y calcule la varianza de las medias muestrales. (Propuesto para selectividad Andalucía 005) [ Solución: a) 3 mujeres y hombres b) Sólo doy la varianza: 5/ ] Una variable aleatoria puede tomar los valores 0, 4 y 30. Mediante muestreo aleatorio simple se forman todas las muestras posibles de tamaño. a) Escriba todas las muestras posibles. b) Calcule la media y varianza de las medias muestrales. (Propuesto para selectividad Andalucía 004) [ Solución: a) Sólo doy el nº de muestras: 9 b) La media es 74/3 y la varianza 76/9 ] Dada la población de elementos {3, 4, 5, 8}, se pretende seleccionar una muestra de tamaño, mediante muestreo aleatorio con reemplazamiento. a) Escriba todas las muestras posibles. b) Calcule la varianza de la población. c) Calcule la varianza de las medias muestrales. (Propuesto para selectividad Andalucía 004) [ Solución: a) Sólo doy el nº de muestras: 16 b) 7/ c) 7/4 ] Sea una población cuyos elementos son 1,, 3. Mediante muestreo aleatorio simple se pretende seleccionar una muestra de tamaño. a) Escriba las posibles muestras. b) Calcule la varianza de las medias muestrales. (Propuesto selectividad Andalucía 003) [ Solución: a) Sólo doy el nº de muestras: 9 b) 1/3 ] En un pueblo habitan 700 hombres adultos, 800 mujeres adultas y 500 menores. De él se quiere seleccionar una muestra de 80 personas, utilizando, para ello, muestreo estratificado con afijación proporcional. Cuál será la composición que debe tener dicha muestra? (Propuesto para selectividad Andalucía 00) [ Solución: 8 hombres adultos, 3 mujeres adultas y 0 menores ]

3 4.- VARIABLES ALEATORIAS. CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA. Supongamos que realizamos un experimento aleatorio, entonces una variable aleatoria ( se suele representar por X ) es una función que le hace corresponder a cada resultado de un experimento aleatorio, un número. Por ejemplo, en el lanzamiento de dados, la suma de los puntos es una variable aleatoria. Hay tipos de variables aleatorias: Variable aleatoria discreta: cuando puede tomar un número finito de valores. Ejemplos: Nº de hijos de una familia, Nº de asignaturas suspendidas por un alumno, Nº de goles marcados por un equipo de fútbol, Nº de libros vendidos por una librería en un día. Variable aleatoria continua: cuando puede tomar, al menos teóricamente, todos los valores posibles dentro de un intervalo de la recta real. Por ejemplo, la estatura de una persona es una v.a. continua, pues una persona podría tener una altura de 165 cm o de 166 cm, pero cualquier medida entre tales mediciones también es posible (por ejemplo, cm ó cm, etc) Otros ejemplos de v.a. continuas son: nivel de agua de un embalse, temperaturas registradas en un observatorio, litros de agua por m caídos en un observatorio en un día. CÁLCULO DE PROBABILIDADES IDADES EN VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Si X es una v.a. continua podemos formar una gráfica que nos permita hallar la probabilidad de que los valores de X estén dentro de un determinado intervalo. Veámoslo con un ejemplo: Supongamos que la v.a. continua es X = longitud de los lápices (en cm) Tomamos 40 lápices, medimos sus longitudes y obtenemos los siguientes resultados: longitud de lápiz (cm) [8,9) [9,10) [10,11) [11,1) [1,13) [13,14) [14,15) [15,16) [16,17) [17,18) [18,19) Total f N =40 f r f es la frecuencia absoluta e indica el nº de lápices ; f r = f/n es la frecuencia relativa o probabilidad en cada intervalo. por ejemplo, la probabilidad de que un lápiz mida entre 15 y 16 cm es 0.0 A partir de la tabla podemos formar el siguiente gráfico llamado histograma de frecuencias relativas: Observa que el área de cada rectángulo es la probabilidad en el intervalo correspondiente. Por ejemplo, P(15< X < 16) = área del rectángulo mayor = 0.0 Si suponemos que el estudio se hace sobre una población infinita (un nº muy grande de lápices) obtenemos una curva que se llama curva de densidad: En esta curva la probabilidad de que X esté en un cierto intervalo, corresponde al área bajo la curva en dicho intervalo Observaciones: 1ª) P(X = 14) = área del segmento vertical que pasa por 14 = 0. En general, P(X = k) = 0 ª) P(1 < X < 16) = P(1 X < 16) = P(1 < X 16) = P(1 X 16) = área bajo la curva entre 1 hasta 16. En general, P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a X b)= área bajo la curva en el intervalo (a,b) 3ª) P(X < 14) = P(X 14) = área bajo la curva entre - y 14. En general, P(X < a) = P(X a) = área bajo la curva entre - y a 4ª) P(- < X < + ) = área entre la curva y el eje X = 1 5ª) P(X > a) = 1 P(X < a)

4 5.- LA DISTRIBUCIÓN NORMAL. La mayoría de las v.a. continuas tienen una curva de densidad f(x) en forma de campana de Gauss. Su función de densidad es f(x) = Y 1. σ. π 1 x. e µ σ, siendo µ la media X y σ es la desviación típica Puedes observar que la gráfica es simétrica respecto de la recta x = µ. µ X Cuando la v.a. X tiene esta curva de densidad diremos que X sigue una distribución normal de media µ y desviación típica σ. Se escribe así: X N(,σ). Las distribuciones de este tipo son muy corrientes en la vida real. Si = 0 y σ = 1, entonces tenemos la distribución Z N(0,1) cuya campana de Gauss es de la forma: Y A Z le llamaremos distribución normal tipificada. Llamaremos Φ(a) = P( Z a) = área bajo la curva entre - y a. La distribución N(0,1) se encuentra tabulada, para valores de a desde 0 hasta 4,09. Para calcular otras probabilidades en la distribución N(0,1) usamos las siguientes fórmulas: P(Z > a) = 1 P(Z < a) = 1 - Φ(a) P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - Φ(a) P(Z > -a) = 1 P(Z< -a) = 1- [ 1 - Φ(a)] = Φ(a) P(a<Z<b) = P(Z<b) - P(Z < a) = Φ(b)- Φ(a) P(-b < Z < -a) = P(a < Z < b) = Φ(b) - Φ(a) P(-a < Z < b) =P(Z < b) P(Z < -a) = = Φ(b) - [1 - Φ(a)] = Φ(b) + Φ(a) - 1 Se puede demostrar que si X N(,σ), entonces la variable Z = X µ σ N(0,1). A este proceso se le llama tipificación. Ejercicio 4: 4 Usando la tabla de la distribución N(0,1), calcula las siguientes probabilidades: a) P(Z 1,3) b) P(Z <,08) c) P(Z < 3,89) d) P(Z < 5) e) P(Z =,73) Ejercicio 8: 8 En una distribución N(,5), calcula: a) P(X 7) b) P(X 7) c) P(X 15) d) P(15 < X < 0) e) P(17 < X 30) Ejercicio 5: 5 Usando la tabla de la distribución N(0,1) halla el valor de a que cumple: a) P(Z < a) = 0,7486 b) P(Z < a) = 0,9981 c) P(Z < a) = 0,7190 d) P(Z < a) = 0,9986 e) P(Z < a) = 0,5479 f) P(Z < a) = 0,7730 g) P(Z < a) = 0,8473 Ejercicio 6: 6 En la distribución N(0,1) calcula las siguientes probabilidades: a) P(Z >,75) b) P(Z > 1) c) P(Z < -,39) d) P(Z < -3,04) e) P(Z > -1,7) f) P(Z > -0,04) g) P(1,9 < Z < 3,08) h) P(1,78 < Z < 3) i) P(-1,5 < Z < -0,7) j) P(-,5 < Z < -1,49) k) P(-0,39 < Z < 1,1) l) P(-3,07 < Z <,77) Ejercicio 7: 7 En la distribución N(0,1), calcula el valor de k > 0 que cumple: a) P(Z > k) = 0,1469 b) P(Z > k-1) = 0, Ejercicio 9: 9 Las estaturas de 600 soldados se distribuyen de acuerdo a una distribución normal de media 168 y varianza 64 cm. Cuántos soldados miden entre 166 y 170 cm? Ejercicio io 10: Los pesos de 60 soldados siguen una distribución N(67,5). Calcula la probabilidad de que el peso sea: a) mayor de 80 kg b) 50 kg o menos c) menos de 60 kg d) 70 kg e) Entre 60 y 70 kg incluidos. Ejercicio 11: En una distribución normal de media 5 y varianza 9, calcula el valor de a para que p(5-a < X < 5+a) = 0,9808

5 ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO 7 Usa las tablas de la normal tipificada para hallar las siguientes probabilidades: a) P(Z < ) b) P(Z < 0,96) c) P(Z 1,7) d) P(Z < 3,03) e) P(Z < 0,18) f) P(Z < 4,1) g) P(Z = 3,5). [ Solución: a) 0,977 b) 0,8315 c) 0,8980 d) 0,99878 e) 0,5714 f) 1 g) 0 ] En la distribución N(0,1), calcula el valor de k para que se cumpla: a) P(Z < k) = 0,9515) b) P(Z < k) = 0,648 c) P(Z < k) = 0,981 d) P(Z < k) = 0,9395 e) P(Z < k) = 0,587 f) P(Z < k) = 0,94 g) P(Z < k) = 0,649 h) P(Z < k) = 0,845 [ Solución: a) 1,66 b) 0,38 c),1 d) 1,55 e) 0, f) 1,56 g) 0,38 h) 1,0 ] Si Z N(0,1), halla las siguientes probabilidades: a) P(Z 1,4) b) P(Z - 0,5) c) P(Z - 0,7) d) P(0,5 < Z < 1,76) e) P(-0,3 Z < 1,) f) P(Z >,09) g) P(1,6 < Z <,01) h) P(-1,73 < Z < 0,48) i) P(Z > -1,56) j) P(Z < -,75) k) P(-,13 < Z < -1,98). [ Solución: a) 0,1075 b) 0,5987 c) 0,358 d) 0,693 e) 0,508 f) 0,0183 g) 0,0816 h) 0,646 i) 0,9406 j) 0,003 k) 0,0073 ] En una distribución N(43,10), calcula: a) P(X > 43) b) P(40 < X 55) c) P(30 < X < 40). [ Solución: a) 0,5 b) 0,508 c) 0,853 ] 11 El peso de los individuos de una población se distribuye normalmente con media de 70 Kg y varianza 36 Kg. De una población de 000 personas, calcula aproximadamente cuántas tendrán un peso comprendido entre 64 y 76 Kg. [ Solución: personas aproximadamente ] La duración media de un lavavajillas es de 15 años y su varianza 0,5. Sabiendo que su vida útil se distribuye normalmente, halla la probabilidad de que al adquirir un lavavajillas dure más de 14 años. [ Solución: 0,977 ] Supongamos que la variable que expresa el tiempo (en meses) que tarda en salir el primer diente de los niños es N(7,5 ; 1,5). Calcula la probabilidad de que a un niño le salgan los dientes: a) Habiendo cumplido ya un año b) Antes de los 5 meses c) Con 7 meses d) Antes de cumplir el medio año e) Después de haber cumplido 7 meses y antes de los 9 meses. [ Solución: a) 0,00135 b) 0,0475 c) 0 d) 0,1587 e) 0,4706 ] Sabiendo que Z N(0,1), halla el valor de k que cumple P(k < Z <,87) = 0,15 [ Solución: 1,14 ] En una distribución normal de media 4 y desviación típica, calcula el valor de k para que p(4-k < X < 4+k) = 0,5934 [ Solución: k = 1,66 ] Sea X una v.a. cualquiera de una población cuya media es y la desviación típica σ. Consideramos todas las muestras con reemplazamiento de tamaño n de dicha población: M 1, M, M 3,. (Observa que si la población tiene N elementos el nº de muestras con reemplazamiento de tamaño n es N n ) Sea x1la media de M 1, x la media de M, Consideremos la variable aleatoria X = medias de las muestras de tamaño n: X = x 1, Entonces se cumple el Teorema Central Del Límite: Si X (,σ) entonces X (, 6.- TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE x la media de M 3 3, etc σ ) n Si X (,σ) y n 30 entonces X N(, x, σ ) n x, etc 3 Ejercicio 13: Un fabricante produce tabletas de chocolate cuyo peso en gramos sigue una ley Normal de media 15 g y desviación típica 4 g. a) Si las tabletas se empaquetan en lotes de 5, cuál es la probabilidad de que el peso medio de las tabletas de un lote se encuentre entre 14 y 16 gramos? b) Si los lotes fuesen de 64 tabletas, cuál sería la probabilidad de que el peso medio de las tabletas del lote superase los 14 gramos? (Propuesto para selectividad Andalucía 006) Ejercicio 14: 1 El número de horas semanales que los estudiantes de Bachillerato de una ciudad dedican al deporte se distribuye según una ley Normal de media 8 y varianza 7,9. a) Para muestras de tamaño 36, indique cuál es la distribución de las medias muestrales. b) Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra de tamaño 36 esté comprendida entre 7,8 y 8,36 horas? (Propuesto para selectividad Andalucía 004) Si X N(,σ) entonces X N(, σ ) n Ejercicio 1: 1 Se sabe que las puntuaciones de un test siguen una ley Normal de media 36 y desviación típica 4,8. a) Si se toma una muestra aleatoria de 16 individuos, cuál es la probabilidad de que la media de esta muestra sea superior a 35 puntos? b) Qué porcentaje de muestras de tamaño 5 tiene una media muestral comprendida entre 34 y 36? (Propuesto y puesto Septbre selectividad Andalucía 007) Ejercicio 15: 1 Sea X una variable aleatoria Normal de media 50 y desviación típica 4. a) Para muestras de tamaño 4, cuál es la probabilidad de que la media muestral supere el valor 54? b) Si X 16 indica la variable aleatoria media muestral para muestras de tamaño 16, calcule el valor de a para que P( 50 - a X a) = 0,9876 (Propuesto para selectividad Andalucía 005)

6 16 El número de horas semanales que los adolescentes dedican a ver la televisión se distribuye según una ley Normal de media 9 horas y desviación típica 4. Para muestras de 64 adolescentes: a) Indique cuál es la distribución de las medias muestrales. b) Calcule la probabilidad de que la media de una de las muestras esté comprendida entre 7,8 y 9,5 horas. (Propuesto para selectividad Andalucía 005) [ Solución: a) N(9,1/) b) 0,8331 ] La superficie de las parcelas de una determinada provincia se distribuye según una ley Normal con media,9 Ha y desviación típica 0,6 Ha. a) Indique la distribución de las medias muestrales para muestras de tamaño 169. b) Cuál es la probabilidad de que una muestra de tamaño 169 tenga una superficie media comprendida entre,8 y 3 Ha? (Propuesto para selectividad Andalucía 004) [ Solución: a) N(,9 ; 3/65) b) 0,97 ] La resistencia a la rotura, de un tipo de hilos de pesca, es una variable aleatoria Normal, con media 4 kg y desviación típica 1,4 kg. Se toman muestras aleatorias de 5 hilos de este tipo y se obtiene la resistencia media a la rotura. a) Cómo se distribuye la resistencia media a la rotura? b) Cuál es la probabilidad de que la resistencia media a la rotura no pertenezca al intervalo de extremos 3,90 kg y 4,15 kg? (Propuesto para selectividad Andalucía 004) [ Solución: a) N(4 ; 0,8) b) 0,654 ] La edad de los niños que van a un parque sigue una ley Normal de media 8 años y desviación típica.1 años. En un momento determinado hay 5 niños en ese parque. Cuál es la ACTIVIDADES PROPUESTA STAS PARA EL ALUMNO probabilidad de que la edad media de ese grupo esté entre 8,5 y 9 años? (Propuesto para selectividad Andalucía 00) [ Solución: 0,1083 ] Según un estudio sociológico, el gasto mensual de los jóvenes españoles durante los fines de semana se distribuye según una ley normal de media µ = 5000 pts. y desviación típica σ = 3000 pts. Tomamos, al azar, una muestra de 36 jóvenes. Cuál es la probabilidad de que esta muestra tenga un gasto medio comprendido entre 3800 pts. y 600 pts? (Propuesto para selectividad Andalucía 001) [ Solución: 0,9836 ] Una empresa de teléfonos móviles ha hecho un estudio sobre el tiempo que tardan sus baterías en descargarse, llegando a la conclusión de que dicha duración, en días, sigue una ley Normal de media 3.8 y desviación típica 1. Se toma una muestra de 16 móviles de esta empresa. Halle la probabilidad de que: a) La duración media de las baterías de la muestra esté comprendida entre 4,1 y 4,3 días. b) La duración media de las baterías de la muestra sea inferior a 3,35 días. (Propuesto para selectividad Andalucía 004) [ Solución: a) 0,093 b) 0,0359 ] Sea X una variable aleatoria Normal de media 30 y varianza 9. a) Para muestras de tamaño 5, cuál es la probabilidad de que la media muestral supere el valor 31? b) Si X 9 indica la variable aleatoria media muestral para muestras de tamaño 9, calcule el valor de k para que P( 30 - k X 9 30+k) = 0,861 [ Solución: a) 0,0475 b) 1,48 ] 7.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS En el experimento de lanzar dados X = nº de veces que sale el 6 es una variable aleatoria discreta. X = 0,1, SI llamamos x i a los valores de la variable X (los valores de x i serían: 0,1,) y p i = P(X = x i ) = Probabilidad de que X tome el valor x i Calculemos los valores de p i : Casos posibles al lanzar dados: 36 x i p i x i p i x i pi 0 5/ /36 10/36 10/36 1/36 /36 4/36 Total 1 1/36 14/36 ( ) ( ) ( ) P X = 0 = 5 / 36 P X = 1 = 10 / 36 P X = = 1/ 36 Observa que podemos construir la siguiente tabla de probabilidades A partir de la tabla podemos calcular la media, la varianza y la desviación típica: La media aritmética ó esperanza: = xi pi La varianza: σ = xi p i µ. En nuestro ejemplo, µ. En nuestro ejemplo, µ = 1 σ = ; 36 ; µ = 1 3 σ = 5 18 La desviación típica: σ = σ. En nuestro ejemplo, σ = 0,57 Nota: La varianza también se puede calcular por la fórmula i σ = (x µ ) p i, pero suele ser más práctico usar la otra fórmula ACTIVIDAD PROPUESTA PARA EL ALUMNO 3 Sea X = nº de caras que se obtienen el lanzar una moneda 3 veces. Calcula la desviación típica de X [ Solución: 3 4 ]

7 8.- LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.. DISTRIBUCIÓN DE LAS PROPORCIONES Consideremos un experimento aleatorio y sea A un suceso con P(A) 0. Llamamos p = P(A), entonces P( A c ) = 1 - p. Si realizamos n pruebas independientes del experimento (el resultado de una prueba no depende del resultado de la anterior) y llamamos X = nº de veces que ocurre el suceso A, entonces X puede tomar los valores: 0,1,,3,., n. Decimos entonces que la variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p. Se suele representar por X B(n,p) La función de probabilidad de una distribución binomial viene dada por la fórmula: P(X = k) = n k p k. (1-p) n-k, k = 0,1,,3,,n Se puede demostrar que la media de X es = np ; La varianza es σ = np(1-p) y la desviación típica es σ = np(1 p) Si X B(n,p) con n 30 y los productos np > 5, n(1-p) > 5, entonces X se puede aproximar por una distribución X N(np, np(1 p) ). En este caso ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( < + ) ( > ) = ( > + ) ( ) = ( > ) P X = k = P k 0,5 < X < k + 0,5 P X < k = P X < k 0,5 P X k P X k 0,5 P X k P X k 0,5 P X k P X k 0,5 Un caso especial de distribución binomial es la distribución de las proporciones iones: En una población se quiere estimar la proporción p de individuos que presenta una cierta característica y se toman muestras de tamaño n Sea X = nº de individuos que tienen la característica X B(n,p). Si suponemos que n 30 y los productos np >5 nq >5 X N(np, np(1 p) ) Si tomamos ahora Y = X/n = proporción de individuos de cada muestra que tienen dicha característica Entonces Y N p, p(1 p) n En la práctica se suele tomar como p la proporción de individuos en una muestra determinada Intervalo de confianza para la media poblacional 9.- INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Y LA PROPORCIÓN Sea una distribución normal N(,σ), con desconocida. Para estimar se toma una muestra de tamaño n con media x Se llama intervalo de confianza para a un nivel de confianza 1- α al intervalo I = ( x - E, x + E) σ E = z α/. n E) (E se llama error máximo admisible), α z α/ =valor de la tabla de la N(0,1) que cumple φ(z α/ ) = 1- Observa: - El punto medio del intervalo: (origen+extremo)/ = x - La amplitud del intervalo es: extremo origen = E Interpretación: x - E x x + E Intervalo de confianza para la proporción poblacional Sea una población en la que se quiere estimar la proporción de individuos que tiene una determinada característica y se toma una muestra de tamaño n en la que la proporción de individuos que presenta dicha característica es p r. Se llama intervalo de confianza para la proporción poblacional a un nivel de confianza 1- α al intervalo I = (p - E, p r r + E) Siendo E = z α/. p (1 p ) r n r (E se llama error máximo admisible), z α/ es el valor de la tabla de la N(0,1) que cumple α φ(z α/ ) = 1- p r - E p r p r + E Observaciones: 1) El nivel de confianza es la probabilidad de que la media poblacional (o la proporción) esté en el intervalo de confianza ) El error máximo admisible nos indica el mayor error que podemos cometer cuando tomamos como aproximación de la media poblacional (o de la proporción poblacional) la media (o proporción) de la muestra 3) Cuanto mayor es el tamaño de la muestra menor es el error (o sea más estrecho es el intervalo) 4) Cuanto menor es el nivel de confianza ó la desviación típica menor es el error (o sea más estrecho es el intervalo) - 0 -

8 Ejercicio 16 : En una población una variable aleatoria sigue una ley Normal con desviación típica 8. Se ha elegido, al azar, una muestra de tamaño 100 y su media ha sido 67. a) Calcule el intervalo de confianza, al 93%, para la media de la población. b) Cuántos datos, como mínimo, son necesarios para estimar, con un nivel de confianza del 99 %, la media de la población con un error no superior a? (Propuesto Selectividad Andalucía 007) Ejercicio 17 : El salario de los trabajadores de una ciudad sigue una distribución Normal con desviación típica 15. Se quiere calcular un intervalo de confianza para el salario medio con un nivel de confianza del 98 %. Determine cuál es el tamaño mínimo de la muestra que se necesitaría recoger para que el intervalo de confianza tenga una amplitud, como máximo, de 6. (Propuesto selectividad Andalucía 007) Ejercicio 18 : En una muestra aleatoria de 56 individuos se ha obtenido una edad media de 17,4 años. Se sabe que la desviación típica de la población Normal de la que procede esa muestra es de años. a) Obtenga un intervalo de confianza al 95% para la edad media de la población. b) Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el correspondiente intervalo de confianza, al 90 %, tenga de amplitud a lo sumo 0,5? (Propuesto y puesto Junio para selectividad Andalucía 007) Ejercicio 19 1 : Las calificaciones obtenidas por los estudiantes de Matemáticas siguen una ley Normal de media desconocida y desviación típica 1,19. Para una muestra de esa población se obtiene que (6,801 ; 6,899) es un intervalo de confianza, al 9 %, para la media poblacional. a) Determine la media muestral. b) Determine el tamaño de la muestra. (Propuesto para selectividad Andalucía 006) Ejercicio 0 : Se han tomado las tallas de 16 bebés, elegidos al azar, de entre los nacidos en un cierto hospital, y se han obtenido los siguientes resultados, en centímetros: 51, 50, 53, 48, 49, 50, 51, 48, 50, 51, 50, 47, 51, 51, 49, 51. La talla de los bebés sigue una ley Normal de desviación típica centímetros y media desconocida. a) Cuál es la distribución de las medias de las muestras de tamaño 16? b) Determine un intervalo de confianza, al 97 %, para la media poblacional. (Propuesto para selectividad Andalucía 006) Ejercicio 1 : El índice de resistencia a la rotura, expresado en kg, de un determinado tipo de cuerda sigue una distribución Normal con desviación típica 15.6 kg. Con una muestra de 5 de estas cuerdas, seleccionadas al azar, se obtuvieron los siguientes índices: 80, 40, 70, 85, 70. a) Obtenga un intervalo de confianza para la media del índice de resistencia a la rotura de este tipo de cuerdas, utilizando un nivel de confianza del 95%. b) Si, con el mismo nivel de confianza, se desea obtener un error máximo en la estimación de la media de 5 kg, será suficiente con elegir una muestra de 30 cuerdas? (Propuesto para selectividad Andalucía 005) Ejercicio : Se sabe que (45,13 ; 51,03) es un intervalo de confianza, al 95 %, para la media de una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con desviación típica 15. a) Cuál es el error cometido? b) Calcule, con el mismo nivel de confianza, el tamaño muestral mínimo necesario para que el error no sea superior a 1,8. (Propuesto y puesto septbre para selectividad Andalucía 007) Ejercicio 3 : Un fabricante de pilas alcalinas sabe que el tiempo de duración, en horas, de las pilas que fabrica sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza Con una muestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95 % ha obtenido para la media el intervalo de confianza (37,6 ; 39,). a) Calcule el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado. b) Cuál sería el error de su estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño 5 y un nivel de confianza del 86,9 %? (Propuesto y puesto en selectividad Andalucía 004) Ejercicio 4 : El tiempo que la población infantil dedica semanalmente a ver la televisión, sigue una ley Normal con desviación típica 3 horas. Se ha seleccionado una muestra aleatoria de 100 niños y, con un nivel de confianza del 97 %, se ha construido un intervalo para la media poblacional. a) Calcule el error máximo cometido y el tiempo medio de la muestra elegida, sabiendo que el límite inferior del intervalo de confianza obtenido es 3.5 horas. b) Supuesto el mismo nivel de confianza, cuál debería haber sido el tamaño mínimo de la muestra para cometer un error en la estimación inferior a media hora? (Propuesto para selectividad Andalucía 003) Ejercicio 5 : La longitud de la ballena azul se distribuye según una ley Normal con desviación típica 7,5 m. En un estudio estadístico realizado a 5 ejemplares se ha obtenido el intervalo de confianza (1,06 ; 6,94) para la longitud media. a) Calcule la longitud media de los 5 ejemplares de la muestra. b) Calcule el nivel de confianza con el que se ha construido dicho intervalo. (Propuesto y puesto en selectividad Andalucía 003) - 1 -

9 Ejercicio 6 : Se está estudiando el consumo de gasolina de una determinada marca de coches. Para ello se escogen 50 automóviles al azar y se obtiene que el consumo medio es de 6,5 litros. Con independencia de esta muestra, se sabe que la desviación típica del consumo de ese modelo de coches es 1,5 litros. a) Halle un intervalo de confianza, al 97 %, para el consumo medio de gasolina de los coches de esa marca. b) El fabricante afirma que el consumo medio de gasolina de sus vehículos está comprendido entre 6, y 6,8 litros. Con qué nivel de confianza puede hacer dicha afirmación? (Propuesto para selectividad Andalucía 003) Ejercicio 7 : El peso neto de las bolsas de almendras de una determinada marca es una variable aleatoria Normal con media µ, desconocida, y varianza σ = 50.4 g. Se sabe que 35 bolsas, elegidas al azar, han dado un peso total de 865 g. a) Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del 90 %, para µ. b) A partir de qué nivel de confianza, el correspondiente intervalo para µ contiene el valor 50 g? (Propuesto para selectividad Andalucía 00) Ejercicio 8 : En un hospital se ha tomado la temperatura a una muestra de 64 pacientes para estimar la temperatura media de sus enfermos. La media de la muestra ha sido 37,1 ºC y se sabe que la desviación típica de toda la población es 1,04 ºC. a) Obtenga un intervalo de confianza, al 90 %, para la media poblacional. b) Con qué nivel de confianza podemos afirmar que la media de la población está comprendida entre 36,8ºC y 37,4 ºC? (Propuesto para selectividad Andalucía 003) Ejercicio 9 : Se sabe que los estudiantes de una provincia duermen un número de horas diarias que se distribuye según una ley Normal de media µ horas y desviación típica σ = horas. a) A partir de una muestra de 64 alumnos se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza (7.6, 8.14) para la media de la población. Determine el nivel de confianza con que se ha construido dicho intervalo. b) Determine el tamaño muestral mínimo necesario para que el error que se cometa al estimar la media de la población por un intervalo de confianza sea, como máximo, de 0.75 horas, con un nivel de confianza del 98 %. (Propuesto para selectividad Andalucía 00) Ejercicio 30 : Para realizar una encuesta en un Instituto se selecciona, aleatoriamente, una muestra de 50 alumnos y se les pregunta si tienen reproductores de mp3, contestando afirmativamente 0 de ellos. Calcule un intervalo de confianza, al 96 %, para la proporción de alumnos que poseen reproductores de mp3 en la población total de alumnos del Instituto. (Propuesto para selectividad Andalucía 007) Ejercicio 31 : En una granja avícola se ha tomado una muestra aleatoria de 00 polluelos de pato, entre los cuales se encontraron 10 hembras. a) Halle un intervalo de confianza, con un nivel del 98 %, para la proporción de hembras entre estos polluelos. b) Razone, a la vista del intervalo encontrado, si a ese nivel de confianza puede admitirse que la verdadera proporción de hembras de pato en esa granja es 0,5. (Propuesto y puesto Junio para selectividad Andalucía 007) Ejercicio 3 : Se ha lanzado al aire una moneda 00 veces y se ha obtenido cara en 10 ocasiones. a) Estime, mediante un intervalo de confianza, al 90 %, la probabilidad de obtener cara. b) Se pretende repetir la experiencia para conseguir que el error cometido sea inferior a 0,03, con un nivel de confianza del 97 %. Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra? (Propuesto para selectividad Andalucía 007) ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO 4 De una población Normal, con media desconocida y varianza 36, se extrae una muestra aleatoria que resulta tener una media muestral de 173. a) Obtenga un intervalo de confianza del 97 % para la media poblacional, si el tamaño de la muestra es 64. b) Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra, si se desea que el error cometido al estimar la media poblacional sea inferior a 1,, para un nivel de confianza del 95 %? (Propuesto para selectividad Andalucía 006) [ Solución: a) (171,375 ; 174,675) b) 97 ] - 5 Una variable aleatoria sigue una ley Normal con media desconocida y desviación típica,4. Se quiere estimar la media poblacional, con un nivel de confianza del 93 %, para lo que se toman dos muestras de distintos tamaños. a) Si una de las muestras tiene tamaño 16 y su media es 10,3, cuál es el intervalo de confianza correspondiente? b) Si con la otra muestra el intervalo de confianza es (9,776 ; 11,4), cuál es la media muestral? Cuál es el tamaño de la muestra? (Propuesto para selectividad Andalucía 006) [ Solución: a) (9,14 ; 11,386) b) x = 10,5 ; tamaño muestral: 36 ] -- 6 a) De una población Normal de media desconocida y desviación típica 6, se extrae la siguiente muestra: 8, 78, 90, 89, 9, 85, 79, 63, 71. Determine un intervalo de confianza, al 98 %, para la media de la población. b) Determine el tamaño que debe tener otra muestra de esta población para que un intervalo de confianza para la media, al 98 %, tenga una amplitud igual a 4,66. (Propuesto para selectividad Andalucía 004) [ Solución: a) (76,34 ; 85,66) b) tamaño muestral: 36 ] - -

10 7 En una población una variable aleatoria sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica. a) Observada una muestra de tamaño 400, tomada al azar, se ha obtenido una media muestral igual a 50. Calcule un intervalo, con el 97 % de confianza, para la media de la población. b) Con el mismo nivel de confianza, qué tamaño mínimo debe tener la muestra para que la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, 1? (Propuesto para selectividad Andalucía 005) [ Solución: a) (49,783 ; 50,17) b) tamaño muestral: 76 ] 8 a) Los valores: 5, 61, 58, 49, 53, 60, 68, 50, 53 constituyen una muestra aleatoria de una variable aleatoria Normal, con desviación típica 6. Obtenga un intervalo de confianza para la media de la población, con un nivel de confianza del 9 %. b) Se desea estimar la media poblacional de otra variable aleatoria Normal, con varianza 49, mediante la media de una muestra aleatoria. Obtenga el tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo de la estimación, mediante un intervalo de confianza al 97 %, sea menor o igual que. (Propuesto para selectividad Andalucía 006) [ Solución: a) (5,5 ; 59,5) b) tamaño muestral: 58 ] 9 El peso de los adultos de una determinada especie de peces sigue una ley Normal de desviación típica 11 g. Cuál es el tamaño mínimo de la muestra de peces que debería tomarse para obtener, con una confianza del 95 %, la media de la población con un error menor de 0 g? (Propuesto para selectividad Andalucía 003) [ Solución: 11 ] 30 Se sabe que la antigüedad de los coches fabricados por una empresa es una variable aleatoria Normal, con desviación típica.9 años. a) Un estudio realizado sobre una muestra aleatoria de 169 coches, de esa empresa, revela que la antigüedad media de la muestra es 8.41 años. Obtenga un intervalo de confianza, al 90 %, para la antigüedad media de la población. b) Determine el número mínimo de coches que debe componer una muestra, para obtener, con un nivel de confianza del 95 %, un error de estimación menor que 0.35 años. (Propuesto para selectividad Andalucía 003) [ Solución: a) (8,043 ; 8,777) b) 64 ] 31 El gasto anual, en videojuegos, de los jóvenes de una ciudad sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 18. Elegida, al azar, una muestra de 144 jóvenes se ha obtenido un gasto medio de 10. a) Indique la distribución de las medias de las muestras de tamaño 144. b) Determine un intervalo de confianza, al 99 %, para el gasto medio en videojuegos de los jóvenes de esa ciudad. c) Qué tamaño muestral mínimo deberíamos tomar para, con la misma confianza, obtener un error menor que 1,9? (Propuesto para selectividad Andalucía a 006) [ Solución: a) N( ; 1,5) b) (116,1375 ; 13,865) c) 596 ] 3 La longitud de los tornillos fabricados por una máquina sigue una ley Normal con desviación típica 0.1 cm. Se ha seleccionado una muestra aleatoria y, con una confianza del 95%, se ha construido un intervalo, para la media poblacional, cuya amplitud es cm. a) Cuál ha sido el tamaño de la muestra seleccionada? b) Determine el intervalo de confianza, si en la muestra seleccionada se ha obtenido una longitud media de 1.75 cm. (Propuesto para selectividad Andalucía 005) [ Solución: a) 5 b) (1,7108 ; 1,789 ] 33 El peso de los cerdos de una granja sigue una ley Normal con desviación típica 18 kg. a) Determine el tamaño mínimo de una muestra para obtener un intervalo de confianza, para la media de la población, de amplitud 5 kg con un nivel de confianza del 95 %. b) Si la media de los pesos de los cerdos de la granja fuera 9 kg, cuál sería la probabilidad de que el peso medio de una muestra de 100 cerdos estuviese entre 88 y 9 kg? (Propuesto para selectividad Andalucía 005) [ Solución: a) 00 b) 0,4868 ] 34 La duración de un viaje entre dos ciudades es una variable aleatoria Normal con desviación típica 0,5 horas. Cronometrados 30 viajes entre estas ciudades, se obtiene una media muestral de 3, horas. a) Halle un intervalo de confianza, al 97 %, para la media de la duración de los viajes entre ambas ciudades. b) Cuál es el error máximo cometido con dicha estimación? (Propuesto para selectividad Andalucía 005) [ Solución: a) (3,101 ; 3,99) b) 0,099 ] 35 El perímetro craneal de una población de varones adultos sigue una ley Normal con desviación típica 4 cm. a) Obtenga un intervalo de confianza, al 95 %, para el perímetro craneal medio, sabiendo que una muestra aleatoria de 100 individuos de esa población tiene una media de 57 cm. b) Con el mismo nivel de confianza, si se aumenta el tamaño de la muestra, razone si aumenta, disminuye o no varía la amplitud del intervalo. (Propuesto para selectividad Andalucía 003) [ Solución: a) (56,16 ; 57,784) b) Disminuye, pues aumenta el denominador de la expresión del error ] 36 El gasto mensual de los estudiantes de un Instituto se distribuye según una ley Normal de media desconocida y desviación típica 4. Se ha seleccionado una muestra aleatoria y, con una confianza del 97 %, se ha construido un intervalo para la media poblacional cuya amplitud es,17. a) Cuál ha sido el tamaño de la muestra seleccionada? b) Calcule el gasto mensual medio de la muestra tomada sabiendo que el límite inferior del intervalo de confianza es 83,915. (Propuesto para selectividad Andalucía 00) [ Solución: a) 64 b) 85 ] - 3 -

11 37 a) Se sabe que la desviación típica de los salarios de una población es 05. Determine un intervalo, con el 90 % de confianza, para el salario medio de la población, sabiendo que el salario medio correspondiente a una muestra de 500 personas ha sido de b) Elegida otra muestra grande, cuya media ha sido 1 10, se ha obtenido, con un 95 % de confianza, el intervalo (1199,953 ; 10,045). Cuál es el tamaño de esta muestra? (Propuesto para selectividad Andalucía 003) [ Solución: a) (108,555 ; 11,7445) b) 1600 ] 38 El tiempo de espera, en minutos, de los usuarios en una determinada parada de autobús sigue una distribución Normal de media µ y desviación típica 1.5 minutos. a) Cómo se distribuye el tiempo medio de espera para muestras aleatorias de tamaño 16? b) Si hemos tomado una muestra aleatoria de 16 usuarios, cuya media es 5 minutos, determine el intervalo de confianza, al 95 %, para la media poblacional. (Propuesto para selectividad Andalucía 00) [ Solución olución: a) N( ; 0,375) b) (4,65 ; 5,735) ] 39 Se sabe que los estudiantes de una provincia duermen un número de horas diarias que se distribuye según una ley normal de media desconocida y desviación típica horas. a) A partir de una muestra de 64 alumnos se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza ( 7,6 ; 8,14 ) para la media de la población. Determine el nivel de confianza con que se ha construido dicho intervalo. b) Determine el tamaño muestral mínimo necesario para que el error que se cometa al estimar la media de la población por un intervalo de confianza sea, como máximo, de 0,75 horas, con un nivel de confianza del 98 % (Propuesto y puesto p en selectividad Andalucía 00) [ Solución: a) 9,16 % b) 39 ] 40 Se sabe que la estatura de los individuos de una población es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con desviación típica 6 cm. Se toma una muestra aleatoria de 5 individuos que da una media de 176 cm. a) Obtenga un intervalo, con un 99 % de confianza, para la media de la estatura de la población. b) Calcule el mínimo tamaño de muestra que se ha de tomar para estimar la estatura media de los individuos de la población con un error inferior a 1 cm y un nivel de confianza del 95 %. (Propuesto para selectividad Andalucía 00) [ Solución: a) (174,97 ; 177,03) b) 139 ] 41 En una encuesta representativa realizada a 1 30 personas de una ciudad, se obtuvo como resultado que 654 de ellas van al cine los fines de semana. Calcule un intervalo de confianza, al 97 %, para la proporción de asistencia al cine los fines de semana en dicha ciudad. (Propuesto para selectividad Andalucía 007) [ Solución: (0,5008 ; 0,566) ] 4 En una Universidad se toma, al azar, una muestra de 400 alumnos y se observa que 160 de ellos han aprobado todas las asignaturas. a) Halle un intervalo de confianza, al 97 %, para estimar el porcentaje de alumnos de esa Universidad que aprueban todas las asignaturas. b) A la vista del resultado anterior se pretende repetir la experiencia para conseguir que el error no sea superior a 0,04, con el mismo nivel de confianza. Cuántos alumnos, como mínimo, ha de tener la muestra? (Propuesto para selectividad Andalucía 007) [ Solución: a) (0,3468 ; 0,453) b) 707 ] 43 Con los datos de una muestra aleatoria se estima que el porcentaje de hogares con conexión a Internet es del 30 %, con un error máximo de la estimación de 0,06 y un nivel de confianza del 93 %. a) Obtenga el intervalo de confianza, al 93 %, de la proporción de hogares con conexión a Internet. b) Calcule el tamaño mínimo de la muestra utilizada. (Propuesto para selectividad Andalucía 007) [ Solución: a) (0,4 ; 0,36) b) 19 ] 44 Para estimar la proporción de estudiantes de una Universidad que está a favor de un aumento del importe de las becas, se entrevistó, aleatoriamente, a 500 estudiantes, de los cuales 465 respondieron afirmativamente. Calcule el intervalo de confianza, al 98 %, en el cual se hallará la proporción de la población universitaria que está a favor del aumento de la cuantía de las becas. (Propuesto para selectividad Andalucía 007) [ Solución: (0,9034 ; 0,9566) ] 45 En una muestra aleatoria de personas de una ciudad, 400 votan a un determinado partido político. Calcule un intervalo de confianza al 96 % para la proporción de votantes de ese partido en la ciudad. (Propuesto para selectividad Andalucía 006) [ Solución: (0,368 ; 0,4318) ] 46 De 500 encuestados en una población, 350 se mostraron favorables a la retransmisión de debates televisivos en tiempos de elecciones. Calcule un intervalo de confianza, al 99,5 %, para la proporción de personas favorables a estas retransmisiones. (Propuesto para selectividad Andalucía 006) [ Solución: (0,644 ; 0,7576) ] 47 Se ha lanzado un dado 400 veces y se ha obtenido 80 veces el valor cinco. Estime, mediante un intervalo de confianza al 95 %, el valor de la probabilidad de obtener un cinco. (Propuesto y puesto en selectividad Andalucía 006) [ Solución: (0,1608 ; 0,39) ] 48 Calcule el tamaño mínimo de una muestra aleatoria de jóvenes entre 18 y 5 años para tener una confianza del 95 % de que el error que se cometerá al estimar la proporción de fumadores entre esas edades no sea superior a 0,05, sabiendo que en una encuesta previa se ha encontrado un 3 % de fumadores entre estos jóvenes. [ Solución: 335 ] - 4 -